Corrigé Ecricome 2025 Maths appliquées ECG — Exercice 1 (fin) (Q6.a à Q9) : Base de E_D puis de E_A par changement de base, équation (A + M)² = A² + M², rang de M ↦ AM + MA par le théorème du rang

Sujet officiel du concours Ecricome, session 2025, épreuve Maths appliquées ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations de Q1 à Q5 : $E_{C} = {M \in M_{3} (R) ∣ C M + M C = 0_{3}}$ , et $D = P^{- 1} A P$ avec

$D = - 3 00 000003, P = 12 - 2 212 - 2 21, P^{- 1} = \frac{1}{9} P .$

Q6. (a) Soit $N = a d g b e h c f i$ . Montrer que $N \in E_{D}$ si et seulement si $N = 00 g 0 e 0 c 00$ . (b) En déduire une base $B$ de $E_{D}$ et sa dimension.
Q7. (a) Pour $M \in M_{3} (R)$ et $N = P^{- 1} M P$ , montrer que $M \in E_{A}$ si et seulement si $N \in E_{D}$ . (b) En déduire une base de $E_{A}$ à l'aide de $P$ et de $B$ .
Q8. Déterminer l'ensemble des $M$ telles que $(A + M)^{2} = A^{2} + M^{2}$ .
Q9. Avec $φ (M) = A M + M A$ , endomorphisme de $M_{3} (R)$ , déterminer le rang de $φ$ .

Corrigé

Q6. (a) Multiplier $N$ à gauche par $D = diag (- 3, 0, 3)$ multiplie ses lignes par $- 3$ , $0$ , $3$ ; multiplier à droite multiplie ses colonnes par $- 3$ , $0$ , $3$ :

$D N = - 3 a 0 3 g - 3 b 0 3 h - 3 c 0 3 i, N D = - 3 a - 3 d - 3 g 000 3 c 3 f 3 i,$

d'où

$D N + N D = - 6 a - 3 d 0 - 3 b 0 3 h 0 3 f 6 i .$

Par conséquent

$N \in E_{D} ⟺ D N + N D = 0_{3} ⟺ a = b = d = f = h = i = 0 ⟺ N = 00 g 0 e 0 c 00,$

chaque équivalence étant une simple identification de coefficients (les réels $c$ , $e$ , $g$ restant libres). L'équivalence est ainsi établie dans les deux sens.

(b) Notons $E_{k ℓ}$ la matrice élémentaire dont le seul coefficient non nul est un $1$ en position $(k, ℓ)$ . D'après (a),

$E_{D} = {c E_{13} + e E_{22} + g E_{31} ∣ (c, e, g) \in R^{3}} = Vect (E_{13}, E_{22}, E_{31}) .$

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