Corrigé Ecricome 2025 Maths appliquées ECG — Exercice 2 (début) (Q1.a à Q4) : Intégrales généralisées I_n et F(x) : convergence par comparaison, calcul de I_0 et I_1, décroissance de F

Sujet officiel du concours Ecricome, session 2025, épreuve Maths appliquées ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour $n \in N$ , on pose $I_{n} = \int_{0}^{+ \infty} t^{n} e^{- t} d t$ , et pour $x ⩾ 0$ ,

$F (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{e ^{- t}}{1 + x t} d t .$

Q1. (a) Montrer que l'intégrale définissant $I_{n}$ converge. (b) Calculer $I_{0}$ et $I_{1}$ .
Q2. Montrer que l'intégrale définissant $F (x)$ converge pour tout $x ⩾ 0$ .
Q3. Expliciter $F (0)$ .
Q4. Pour $0 ⩽ x ⩽ y$ , montrer que $F (y) ⩽ F (x)$ . Qu'en déduit-on sur $F$ ?

Corrigé

Q1. (a) Soit $n \in N$ . La fonction $g_{n} : t \mapsto t^{n} e^{- t}$ est continue et positive sur $[0, + \infty [$ ; l'intégrale n'est donc impropre qu'en $+ \infty$ .

Sur $[1, + \infty [$ . Par croissances comparées, $t^{2} g_{n} (t) = t^{n + 2} e^{- t} t \to + \infty 0$ , c'est-à-dire

$t^{n} e^{- t} = o (\frac{1}{t ^{2}}) au voisinage de + \infty.$

Les fonctions $g_{n}$ et $t \mapsto 1/ t^{2}$ sont continues et positives sur $[1, + \infty [$ , et l'intégrale de Riemann $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{2}}$ converge ( $2 > 1$ ). Par la règle de comparaison (négligeabilité) pour les fonctions positives, $\int_{1}^{+ \infty} t^{n} e^{- t} d t$ converge.

Sur $[0, 1]$ . $g_{n}$ est continue sur le segment $[0, 1]$ , donc $\int_{0}^{1} t^{n} e^{- t} d t$ est une intégrale ordinaire.

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