Corrigé Ecricome 2025 Maths appliquées ECG — Exercice 2 (fin) (Q5.a à Q8) : Limite de F en +∞ par encadrement, développement limité F(x) = 1 − x + o(x), dérivée en 0 et allure de la courbe

Sujet officiel du concours Ecricome, session 2025, épreuve Maths appliquées ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations de Q1 à Q4 : $I_{n} = \int_{0}^{+ \infty} t^{n} e^{- t} d t$ (avec $I_{0} = I_{1} = 1$ ) et $F (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{e ^{- t}}{1 + x t} d t$ pour $x ⩾ 0$ ; $F (0) = 1$ et $F$ est décroissante.

Q5. (a) Calculer $\int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + x t}$ pour $x ⩾ 0$ (cas $x = 0$ et $x > 0$ ). (b) Montrer que $0 ⩽ \int_{0}^{1} \frac{e ^{- t}}{1 + x t} d t ⩽ \int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + x t}$ . (c) Pour $x > 0$ , montrer que $0 ⩽ \int_{1}^{+ \infty} \frac{e ^{- t}}{1 + x t} d t ⩽ \frac{1}{x} \int_{1}^{+ \infty} e^{- t} d t$ . (d) En déduire la limite de $F$ en $+ \infty$ .
Q6. Soit $x ⩾ 0$ ; on admet la convergence de $\int_{0}^{+ \infty} \frac{t ^{2} e ^{- t}}{1 + x t} d t$ . (a) Montrer que $F (x) - \int_{0}^{+ \infty} e^{- t} (1 - x t) d t = x^{2} \int_{0}^{+ \infty} \frac{t ^{2} e ^{- t}}{1 + x t} d t$ . (b) En déduire $0 ⩽ F (x) - I_{0} + x I_{1} ⩽ x^{2} I_{2}$ .
Q7. (a) En déduire $F (x) = 1 - x + o (x)$ quand $x \to 0$ . (b) Montrer que $F$ est dérivable en $0$ et donner $F^{'} (0)$ .
Q8. On admet que $F$ est continue sur $[0, + \infty [$ . Tracer l'allure de sa courbe, avec la tangente au point d'abscisse $0$ .

Corrigé

Q5. (a) Cas $x = 0$ . $\int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + 0 \cdot t} = \int_{0}^{1} 1 d t = 1$ .

Cas $x > 0$ . Sur $[0, 1]$ , $1 + x t > 0$ et $t \mapsto \frac{1}{x} ln (1 + x t)$ est une primitive de $t \mapsto \frac{1}{1 + x t}$ (sa dérivée est $\frac{1}{x} \cdot \frac{x}{1 + x t}$ ). Donc

$\int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + x t} = [\frac{ln ( 1 + x t )}{x}]_{0}^{1} = \frac{ln ( 1 + x )}{x} (x > 0) .$

(b) Pour $t \in [0, 1]$ , $0 < e^{- t} ⩽ 1$ et $\frac{1}{1 + x t} > 0$ , donc

$0 ⩽ \frac{e ^{- t}}{1 + x t} ⩽ \frac{1}{1 + x t} .$

Ces fonctions sont continues sur le segment $[0, 1]$ et les bornes sont dans l'ordre croissant ; par positivité et croissance de l'intégrale,

$0 ⩽ \int_{0}^{1} \frac{e ^{- t}}{1 + x t} d t ⩽ \int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + x t} .$

(c) Soit $x > 0$ . Pour $t ⩾ 1$ , $1 + x t ⩾ x t ⩾ x > 0$ , donc $\frac{1}{1 + x t} ⩽ \frac{1}{x}$ , et, comme $e^{- t} > 0$ ,

$0 ⩽ \frac{e ^{- t}}{1 + x t} ⩽ \frac{1}{x} e^{- t} .$

L'intégrale $\int_{1}^{+ \infty} e^{- t} d t$ converge (elle vaut $lim_{X \to + \infty} (e^{- 1} - e^{- X}) = e^{- 1}$ ), et $\int_{1}^{+ \infty} \frac{e ^{- t}}{1 + x t} d t$ converge (Q2 et relation de Chasles). Par croissance de l'intégrale sur $[1, + \infty [$ (intégrales convergentes) :

$0 ⩽ \int_{1}^{+ \infty} \frac{e ^{- t}}{1 + x t} d t ⩽ \frac{1}{x} \int_{1}^{+ \infty} e^{- t} d t = \frac{e ^{- 1}}{x} .$

(d) Soit $x > 0$ . Par la relation de Chasles (les deux morceaux convergent), puis par (a), (b) et (c),

$0 ⩽ F (x) = \int_{0}^{1} \frac{e ^{- t}}{1 + x t} d t + \int_{1}^{+ \infty} \frac{e ^{- t}}{1 + x t} d t ⩽ \frac{ln ( 1 + x )}{x} + \frac{e ^{- 1}}{x} .$

D'une part $\frac{e ^{- 1}}{x} \to 0$ . D'autre part, en posant $u = 1 + x$ ,

$\frac{ln ( 1 + x )}{x} = \frac{ln u}{u} \cdot \frac{1 + x}{x}, \frac{ln u}{u} u \to + \infty 0, \frac{1 + x}{x} x \to + \infty 1,$

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