Corrigé Ecricome 2025 Maths appliquées ECG — Exercice 3 — Partie I (Q1 à Q4.b) : Loi de Pareto des revenus : densité, espérance i/(i − 1) pour i ⩾ 2, fonction de répartition, simulation par inversion

Sujet officiel du concours Ecricome, session 2025, épreuve Maths appliquées ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Soit $n \in N^{*}$ . Pour $1 ⩽ i ⩽ n$ , la variable $X_{i}$ (revenu mensuel, en milliers d'euros, d'un individu tiré au hasard dans la catégorie $i$ ) a pour densité

$f_{i} (x) = \frac{i}{x ^{i + 1}} si x ⩾ 1, f_{i} (x) = 0 si x < 1,$

et pour fonction de répartition $F_{i}$ .

Q1. Vérifier que $f_{i}$ est une densité de probabilité.
Q2. (a) Pour quels $i$ la variable $X_{i}$ admet-elle une espérance ? La calculer. (b) Classer ces catégories par revenu moyen croissant.
Q3. Montrer que $F_{i} (x) = 1 - \frac{1}{x ^{i}}$ si $x ⩾ 1$ et $F_{i} (x) = 0$ si $x < 1$ (égalité (1)).
Q4. Soit $U ↪ U (] 0, 1 [)$ et $V_{i} = \frac{1}{U ^{1/ i}}$ . (a) Montrer que $V_{i}$ suit la même loi que $X_{i}$ . (b) Écrire une fonction Python simulX(i) qui simule $X_{i}$ .

Corrigé

Q1. Soit $i \in {1, \dots, n}$ . On applique le théorème « reconnaître une densité ».

Positivité. $f_{i} (x) = 0$ si $x < 1$ , et $f_{i} (x) = \frac{i}{x ^{i + 1}} > 0$ si $x ⩾ 1$ : $f_{i} ⩾ 0$ sur $R$ .
Continuité sauf en un nombre fini de points. $f_{i}$ est constante (nulle) sur $] - \infty, 1 [$ et continue sur $] 1, + \infty [$ comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur $x^{i + 1}$ ne s'annule pas. Elle est donc continue sur $R$ sauf peut-être en $1$ (où elle saute de $0$ à $f_{i} (1) = i$ ).
Intégrale égale à $1$ . $\int_{- \infty}^{1} f_{i} (t) d t = \int_{- \infty}^{1} 0 d t$ converge et vaut $0$ . Pour $X ⩾ 1$ ,

$\int_{1}^{X} \frac{i}{t ^{i + 1}} d t = [- t^{- i}]_{1}^{X} = 1 - \frac{1}{X ^{i}} X \to + \infty 1 (car i ⩾ 1) .$

Donc $\int_{- \infty}^{+ \infty} f_{i} (t) d t$ converge et vaut $0 + 1 = 1$ .

Ainsi $f_{i} est une densit e ˊ de probabilit e ˊ .$

Ce que le correcteur attend : la continuité sur $R$ privé du seul point $1$ (et non « sauf en $0$ »), et la convergence de l'intégrale, établie par le calcul sur un segment $[1, X]$ suivi d'un passage à la limite.

Q2. (a) Par définition, $X_{i}$ admet une espérance si et seulement si $\int_{- \infty}^{+ \infty} t f_{i} (t) d t$ converge absolument. Sur $] - \infty, 1 [$ , l'intégrande est nul. Sur $[1, + \infty [$ , il est positif (la convergence absolue équivaut donc à la convergence) et vaut

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