Corrigé Ecricome 2025 Maths appliquées ECG — Exercice 3 — Partie II (Q5 à Q8.e) : Simulation d'une loi binomiale décalée, loi empirique et diagramme en bâtons, clefs primaires, schéma relationnel et requêtes SQL

Sujet officiel du concours Ecricome, session 2025, épreuve Maths appliquées ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Soit $p \in] 0, 1 [$ . La variable $Y$ est le numéro de la catégorie d'un individu tiré au hasard ; $Y - 1 ↪ B (n - 1, p)$ .

Q5. Avec la seule fonction random de numpy.random, écrire simulY(n, p) qui simule $Y$ .
Q6. Compléter la fonction loiY(n, p) du sujet (N = 10000 tirages, liste loi = [0] * n) pour qu'elle renvoie une liste $(p_{1}, \dots, p_{n})$ de valeurs approchées des $P ([Y = i])$ .
Q7. Écrire une fonction affichant un diagramme en bâtons approché de la loi de $Y$ .
Q8. Tables : individu(i_nom, i_prenom, i_departement, i_insee, i_code_profession) ; departement(d_numero, d_nom, d_population) ; profession(p_pcs, p_categorie, p_intitule), où p_categorie est la catégorie (de $1$ à $6$ ) et p_pcs le code PCS, propre à chaque profession. (a) Que doit vérifier une clef primaire ? (b) Proposer une clef primaire pour chaque table. (c) Dresser le schéma relationnel, avec les liens entre tables. (d) Requête : les codes PCS, sans répétition, des professions exercées dans le département numéro $28$ . (e) Requête : pour chaque individu, son numéro INSEE et sa catégorie socioprofessionnelle.

Corrigé

Q5. Comme $Y - 1 ↪ B (n - 1, p)$ , $Y - 1$ a la loi du nombre de succès dans $n - 1$ épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$ . Un appel rd.random() simule $W ↪ U ([0, 1 [)$ et $P ([W < p]) = p$ : le test rd.random() < p simule une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ , et des appels successifs sont indépendants.


import numpy.random as rd

def simulY(n, p):
    y = 1                        # Y = 1 + (nombre de succes)
    for k in range(n - 1):       # n - 1 epreuves de Bernoulli
        if rd.random() < p:      # succes, avec probabilite p
            y = y + 1
    return y

La variable y vaut $1$ plus le nombre de succès parmi $n - 1$ épreuves indépendantes, donc suit la loi de $1 + B$ avec $B ↪ B (n - 1, p)$ : c'est la loi de $Y$ . (Pour $n = 1$ , la boucle est vide et la fonction renvoie $1$ , ce qui est correct puisque $Y - 1 ↪ B (0, p)$ est nulle.)

Ce que le correcteur attend : pas de rd.binomial, exclu par l'énoncé.

Q6. Les valeurs de $Y$ sont $1, \dots, n$ ; on range la fréquence de la valeur $i$ dans la case d'indice $i - 1$ de la liste (indices de $0$ à $n - 1$ ). Chaque tirage ajoute $\frac{1}{N}$ à la case de la valeur obtenue.


def loiY(n, p):
    N = 10000
    loi = [0] * n
    for k in range(N):
        y = simulY(n, p)
        loi[y - 1] += 1 / N
    return loi

En fin de boucle, loi[i-1] est la fréquence de la valeur $i$ sur $N$ simulations indépendantes de $Y$ ; d'après la loi faible des grands nombres, appliquée aux indicatrices des événements $[Y = i]$ , c'est une valeur approchée de $P ([Y = i])$ . Exécution avec $n = 6$ , $p = 0, 3$ : la fonction renvoie (arrondi) $[0, 163; 0, 358; 0, 311; 0, 137; 0, 028; 0, 002]$ , pour des valeurs exactes $(i - 1 5) 0, 3^{i - 1} 0, 7^{6 - i}$ égales à $[0, 168; 0, 360; 0, 309; 0, 132; 0, 028; 0, 002]$ .

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