Corrigé Ecricome 2025 Maths appliquées ECG — Exercice 3 — Partie III (Q9 à Q13.b) : Revenu du sondé : probabilités totales, fonction de répartition G_n, variable à densité, simulation et convergence en loi

Sujet officiel du concours Ecricome, session 2025, épreuve Maths appliquées ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Soit $p \in] 0, 1 [$ . On tire une catégorie $Y$ , avec $Y - 1 ↪ B (n - 1, p)$ , puis un individu au hasard dans cette catégorie ; $Z_{n}$ est son revenu et $G_{n}$ la fonction de répartition de $Z_{n}$ . On rappelle (1) : $F_{i} (x) = 1 - \frac{1}{x ^{i}}$ si $x ⩾ 1$ , $F_{i} (x) = 0$ sinon.

Q9. Expliciter $G_{n} (x)$ pour $x < 1$ .
Q10. Soit $x ⩾ 1$ . (a) Justifier que $P_{[Y = i]} ([Z_{n} ⩽ x]) = F_{i} (x)$ pour $1 ⩽ i ⩽ n$ . (b) Montrer que $G_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n - 1} F_{k + 1} (x) (k n - 1) p^{k} (1 - p)^{n - 1 - k}$ . (c) En déduire $G_{n} (x) = 1 - \frac{( p + ( 1 - p ) x ) ^{n - 1}}{x ^{n}}$ .
Q11. Justifier que $Z_{n}$ est une variable aléatoire à densité.
Q12. Avec simulX et simulY, écrire sondage(n, p) qui simule $Z_{n}$ .
Q13. Ici $p = \frac{1}{n}$ . (a) Montrer que $G_{n} (x) = 1 - \frac{1}{x} (1 - \frac{x - 1}{n x})^{n - 1}$ si $x ⩾ 1$ , et $G_{n} (x) = 0$ si $x < 1$ . (b) Montrer que $(Z_{n})_{n ⩾ 1}$ converge en loi vers une variable dont on donnera la fonction de répartition.

Corrigé

Préliminaire.

$Y - 1$ prend les valeurs $0, \dots, n - 1$ , donc $Y (Ω) = {1, \dots, n}$ et, pour $1 ⩽ i ⩽ n$ ,

$P ([Y = i]) = P ([Y - 1 = i - 1]) = (i - 1 n - 1) p^{i - 1} (1 - p)^{n - i} > 0$

puisque $0 < p < 1$ . Les événements $[Y = 1], \dots, [Y = n]$ forment donc un système complet d'événements, tous de probabilité non nulle : les probabilités conditionnelles $P_{[Y = i]}$ sont bien définies.

Loi conditionnelle de $Z_{n}$ . (C'est l'objet de Q10(a) pour $x ⩾ 1$ ; on l'établit dès maintenant, pour tout réel $x$ , parce que Q9 en a déjà besoin.) Sachant $[Y = i]$ , l'individu est choisi avec équiprobabilité dans la catégorie numéro $i$ ; son revenu suit donc, sous la probabilité $P_{[Y = i]}$ , la loi du revenu d'un individu tiré au hasard dans cette catégorie, c'est-à-dire la loi de $X_{i}$ , par définition même de $X_{i}$ . Ainsi, pour tout réel $x$ ,

$P_{[Y = i]} ([Z_{n} ⩽ x]) = P ([X_{i} ⩽ x]) = F_{i} (x) . (*)$

Q9. Soit $x < 1$ . Par la formule des probabilités totales associée au système complet $([Y = i])_{1 ⩽ i ⩽ n}$ , puis par $(*)$ et (1),

$G_{n} (x) = P ([Z_{n} ⩽ x]) = i = 1 \sum n P ([Y = i]) P_{[Y = i]} ([Z_{n} ⩽ x]) = i = 1 \sum n P ([Y = i]) F_{i} (x) = 0,$

car $F_{i} (x) = 0$ pour $x < 1$ . Donc $G_{n} (x) = 0 pour tout x < 1$ : un revenu tiré selon l'une des lois $X_{i}$ est toujours au moins égal à $1$ (millier d'euros).

Q10. (a) Soit $x ⩾ 1$ et $i \in {1, \dots, n}$ . C'est la relation $(*)$ du préliminaire : sachant $[Y = i]$ , le sondé est un individu tiré avec équiprobabilité dans la catégorie $i$ , dont le revenu suit la loi de $X_{i}$ . Donc

$P_{[Y = i]} ([Z_{n} ⩽ x]) = F_{i} (x) .$

Ce que le correcteur attend : une probabilité conditionnelle $P_{[Y = i]} (\dots)$ , jamais un « événement conditionnel » ; l'argument est la modélisation du protocole.

(b) Soit $x ⩾ 1$ . La formule des probabilités totales, pour le même système complet, donne

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