Corrigé Ecricome 2025 Maths approfondies ECG — Exercice 1 (début) (Q1.a à Q3.b) : Convergence de Σ1/n², Σ(−1)ⁿ/n², Σ1/(2n+1)², relations A − B = 2C et A = C + A/4, somme trigonométrique alternée par récurrence

Q1 (a). La série ${\sum }_{n⩾1}\frac{1}{n^{\alpha }}$ est une série de Riemann : elle converge si et seulement si $\alpha >1$. Ici $\alpha =2$ et $2>1$, donc $\boxed{\sum _{n⩾1}\frac{1}{n^2}\text{ converge.}}$

Q1 (b). Pour tout $n⩾1$, $\left|\frac{(-1{)}^n}{n^2}\right|=\frac{1}{n^2}$. La série des valeurs absolues est donc la série de Q1 (a), qui converge : la série $\sum \frac{(-1{)}^n}{n^2}$ est absolument convergente, et une série absolument convergente est convergente. Donc $\boxed{\sum _{n⩾1}\frac{(-1{)}^n}{n^2}\text{ converge.}}$

Ce que le correcteur attend : l'argument complet « la série des valeurs absolues converge, donc la série converge absolument, donc elle converge ». Le critère des séries alternées n'est pas au programme d'ECG et ne doit pas être invoqué ; séparer $n$ pair et $n$ impair n'aboutit pas sans un passage aux sommes partielles.

Q1 (c). C'est une série à termes positifs. Pour $n⩾1$,

$$(2n+1{)}^2=4n^2+4n+1⩾4n^2,\text{donc}0<\frac{1}{(2n+1{)}^2}⩽\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{n^2}.$$

La série $\sum \frac{1}{n^2}$ converge (Q1 (a)) ; par le critère de comparaison des séries à termes positifs, ${\sum }_{n⩾1}\frac{1}{(2n+1{)}^2}$ converge, et l'ajout du terme d'indice $0$ ne change pas la nature. Donc $\boxed{\sum _{n⩾0}\frac{1}{(2n+1{)}^2}\text{ converge.}}$ (On peut aussi dire $\frac{1}{(2n+1{)}^2}\sim \frac{1}{4n^2}$, termes positifs, critère d'équivalence.)