Ecricome 2025 — Maths approfondies ECG : sujet et corrigé

8 parties corrigées, avec un corrigé rédigé · filière ECG.

• Exercice 1 (début) (Q1.a à Q3.b) — Convergence de Σ1/n², Σ(−1)ⁿ/n², Σ1/(2n+1)², relations A − B = 2C et A = C + A/4, somme trigonométrique alternée par récurrence
• Exercice 1 (fin) (Q4.a à Q7.b) — Lemme de Riemann-Lebesgue par intégration par parties, prolongement C¹ de t/sin(t/2), calcul de C = π²/8, A = π²/6 et B = −π²/12
• Exercice 2 — Partie 1 (Q1.a à Q3.c) — Polynôme annulateur x³ − 4x² − 12x − 28 d'une matrice 3×3 : test en Python, inverse, unique valeur propre réelle, non-diagonalisabilité
• Exercice 2 — Partie 2 (Q4 à Q10) — S = ᵗMM symétrique à valeurs propres positives, théorème spectral, racine carrée symétrique R de S, U = MR⁻¹ orthogonale
• Exercice 2 — Partie 3 (Q11 à Q17) — Unicité de la décomposition polaire M = UR : T commute avec S, vecteurs propres communs, N = ᵗPTP diagonale égale à Δ
• Problème — Partie 1 (Q1.a à Q5) — Fonction bêta : convergence de ∫t^(x−1)(1−t)^(y−1), symétrie, B(x,1), relations de récurrence par intégration par parties, B(p,q) en factorielles
• Problème — Partie 2 (Q6.a à Q10.c) — Lois gamma : Γ(n+1) = n!, Γ(1/2) = √π, densités f_{a,b}, espérance et variance, produit de convolution et B(x,y) = Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y)
• Problème — Partie 3 (Q11.a à Q12.d) — Méthodes de Monte-Carlo : loi faible des grands nombres pour approcher B(x,y) = π en (1/2, 1/2), estimateur sans biais et convergent de Γ(a), simulation de la loi exponentielle