Corrigé Ecricome 2025 Maths approfondies ECG — Exercice 2 — Partie 2 (Q4 à Q10) : S = ᵗMM symétrique à valeurs propres positives, théorème spectral, racine carrée symétrique R de S, U = MR⁻¹ orthogonale

Q4. La transposée d'un produit est le produit des transposées dans l'ordre inverse, et ${}^t({}^{t}M)=M$ :

$${}^{t}S={}^t\left({}^{t}MM\right)={}^{t}M{}^t\left({}^{t}M\right)={}^{t}MM=S.$$

Donc $\boxed{S\text{ est symeˊtrique}}$ (et réelle).

Q5. Soit $\lambda$ une valeur propre de $S$ et $X\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$, $X\ne 0$, tel que $SX=\lambda X$. Calculons de deux façons le réel ${}^{t}XSX$ :

$${}^{t}XSX=\lambda {}^{t}XX=\lambda \Vert X{\Vert }^2,{}^{t}XSX={}^{t}X{}^{t}MMX={}^t(MX)(MX)=\Vert MX{\Vert }^2,$$

où $\Vert \cdot \Vert$ est la norme euclidienne canonique de ${\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$ (${}^{t}YY=\sum y_i^2$). Comme $X\ne 0$, $\Vert X{\Vert }^2>0$. Comme $M$ est inversible (Q2 (b)) et $X\ne 0$, $MX\ne 0$ (sinon $X=M^{-1}MX=0$), donc $\Vert MX{\Vert }^2>0$. Ainsi

$$\boxed{\lambda =\frac{\Vert MX{\Vert }^2}{\Vert X{\Vert }^2}>0.}$$

Ce que le correcteur attend : l'usage de $X\ne 0$ et de l'inversibilité de $M$ pour la stricte positivité ; une matrice symétrique quelconque peut avoir des valeurs propres négatives.