Corrigé Ecricome 2025 Maths approfondies ECG — Problème — Partie 2 (Q6.a à Q10.c) : Lois gamma : Γ(n+1) = n!, Γ(1/2) = √π, densités f_{a,b}, espérance et variance, produit de convolution et B(x,y) = Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y)

Sujet officiel du concours Ecricome, session 2025, épreuve Maths approfondies ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$Γ (ν) = \int_{0}^{+ \infty} t^{ν - 1} e^{- t} d t$ pour $ν > 0$ ; on rappelle que $Γ$ est bien définie et que $Γ (ν + 1) = ν Γ (ν)$ . Pour $a, b > 0$ , on pose $f_{a, b} (t) = \frac{b ^{a}}{Γ ( a )} t^{a - 1} e^{- b t}$ si $t > 0$ et $f_{a, b} (t) = 0$ si $t ⩽ 0$ . La fonction $B$ est celle de la partie 1.

Q6. (a) Calculer $Γ (n + 1)$ pour $n \in N$ . (b) Calculer $Γ (\frac{1}{2})$ (changement de variable $u = 2 t$ ).
Q7. (a) Justifier la convergence de $\int_{- \infty}^{+ \infty} f_{a, b} (t) d t$ . (b) Montrer que $f_{a, b}$ est une densité de probabilité.
Q8. (a) Reconnaître la loi d'une variable $X$ de densité $f_{a, 1}$ ; donner $E (X)$ et $V (X)$ . (b) Même question pour la densité $f_{1, b}$ , en montrant l'existence de la variance.
Q9. Soit $X$ de densité $f_{a, b}$ . (a) Déterminer la loi de $b X$ . (b) Montrer que $X$ admet une espérance et une variance et les calculer.
Q10. Soient $X_{1}, X_{2}$ indépendantes de densités $f_{a_{1}, b}$ et $f_{a_{2}, b}$ . (a) Montrer que $X_{1} + X_{2}$ admet pour densité $x \mapsto \frac{b ^{a_{1} + a_{2}} B ( a _{1} , a _{2} )}{Γ ( a _{1} ) Γ ( a _{2} )} x^{a_{1} + a_{2} - 1} e^{- b x}$ si $x > 0$ , $0$ sinon. (b) En déduire $B (x, y) = \frac{Γ ( x ) Γ ( y )}{Γ ( x + y )}$ pour $x, y > 0$ . (c) Que vaut $B (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ ?

Corrigé

Q6 (a). D'abord $Γ (1) = \int_{0}^{+ \infty} e^{- t} d t$ : pour $A > 0$ , $\int_{0}^{A} e^{- t} d t = 1 - e^{- A} \to 1$ quand $A \to + \infty$ , donc $Γ (1) = 1$ . Montrons par récurrence sur $n \in N$ que $Γ (n + 1) = n!$ . Pour $n = 0$ : $Γ (1) = 1 = 0!$ . Si $Γ (n + 1) = n!$ pour un $n \in N$ , alors, par la relation rappelée avec $ν = n + 1 > 0$ , $Γ (n + 2) = (n + 1) Γ (n + 1) = (n + 1) n! = (n + 1)!$ . Donc $\forall n \in N, Γ (n + 1) = n! .$

Q6 (b). $Γ (\frac{1}{2}) = \int_{0}^{+ \infty} t^{- 1/2} e^{- t} d t$ , intégrale convergente (rappel de l'énoncé). Le changement de variable $u = 2 t$ s'écrit $t = ψ (u) = \frac{u ^{2}}{2}$ , où $ψ$ est une bijection de classe $C^{1}$ strictement croissante de $] 0, + \infty [$ sur $] 0, + \infty [$ , avec $ψ^{'} (u) = u$ . Pour $u > 0$ , $ψ (u)^{- 1/2} = \frac{2}{u}$ , donc

$Γ (\frac{1}{2}) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{2}{u} e^{- u^{2} /2} u d u = 2 \int_{0}^{+ \infty} e^{- u^{2} /2} d u,$

par le théorème de changement de variable (même nature, et égalité puisque l'intégrale de départ converge).

Calculons $J = \int_{0}^{+ \infty} e^{- u^{2} /2} d u$ . La densité de la loi normale centrée réduite donne $\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{2 π} e^{- u^{2} /2} d u = 1$ , donc $\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- u^{2} /2} d u = 2 π$ , et cette intégrale converge sur $] - \infty, 0]$ et sur $[0, + \infty [$ . Le changement de variable affine $u = - v$ (bijection $C^{1}$ strictement décroissante de $] 0, + \infty [$ sur $] - \infty, 0 [$ ) donne $\int_{- \infty}^{0} e^{- u^{2} /2} d u = \int_{0}^{+ \infty} e^{- v^{2} /2} d v = J$ . Par la relation de Chasles, $2 J = 2 π$ , soit $J = \frac{2 π}{2}$ . Finalement

$Γ (\frac{1}{2}) = 2 \cdot \frac{2 π}{2} = π .$

Ce que le correcteur attend : les hypothèses du changement de variable ( $C^{1}$ , strictement monotone, bijectif) et un calcul de $J$ qui ne repose pas sur un « argument de parité » (hors programme) mais sur le changement de variable $u = - v$ .

Q7 (a). Lemme ( $⋆$ ). Pour $c > 0$ et $b > 0$ , $\int_{0}^{+ \infty} t^{c - 1} e^{- b t} d t$ converge et vaut $\frac{Γ ( c )}{b ^{c}}$ . En effet, le changement de variable affine $t = \frac{u}{b}$ ( $u \mapsto \frac{u}{b}$ bijection $C^{1}$ strictement croissante de $] 0, + \infty [$ sur lui-même) montre que cette intégrale a la nature de

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →