Corrigé Ecricome 2025 Maths approfondies ECG — Problème — Partie 1 (Q1.a à Q5) : Fonction bêta : convergence de ∫t^(x−1)(1−t)^(y−1), symétrie, B(x,1), relations de récurrence par intégration par parties, B(p,q) en factorielles

Pour $x,y\in \mathbb{R}$, on note $g_{x,y}(t)=t^{x-1}(1-t{)}^{y-1}={\mathrm{e}}^{(x-1)\ln t}{\mathrm{e}}^{(y-1)\ln (1-t)}$ : cette fonction est définie, continue et strictement positive sur $]0,1[$.

Q1 (a). Quand $t\to 0$, $(1-t{)}^{y-1}={\mathrm{e}}^{(y-1)\ln (1-t)}\to {\mathrm{e}}^0=1$ par continuité de $\ln$ en $1$ et de $\exp$ en $0$. Donc

$$\boxed{t^{x-1}(1-t{)}^{y-1}\underset{t\to 0^{+}}{\sim }{t}^{x-1}.}$$

Q1 (b). Sur $]0,\frac{1}{2}]$, $g_{x,y}$ est continue et positive ; l'intégrale n'est impropre qu'en $0$ (la fonction est continue en $\frac{1}{2}$). Les fonctions $g_{x,y}$ et $t\mapsto t^{x-1}$ sont positives et équivalentes en $0$ (Q1 (a)) : par le critère d'équivalence pour les intégrales de fonctions positives, ${\int }_0^{1/2}{g}_{x,y}$ et ${\int }_0^{1/2}{t}^{x-1}\mathrm{d}t$ sont de même nature. Or $t^{x-1}=\frac{1}{t^{1-x}}$ et, par le critère de Riemann en $0$, ${\int }_0^{1/2}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}$ converge si et seulement si $\alpha <1$. Ici $\alpha =1-x$ :

$$\boxed{{\int }_0^{1/2}{t}^{x-1}(1-t{)}^{y-1}\mathrm{d}t\text{ converge}⟺1-x<1⟺x>0.}$$

Ce que le correcteur attend : la positivité et la continuité des fonctions comparées, et un raisonnement qui porte sur la convergence (on ne calcule pas une primitive dont on n'a pas montré l'existence de la limite).