Corrigé Ecricome 2025 Maths approfondies ECG — Exercice 1 (fin) (Q4.a à Q7.b) : Lemme de Riemann-Lebesgue par intégration par parties, prolongement C¹ de t/sin(t/2), calcul de C = π²/8, A = π²/6 et B = −π²/12

Q4 (a). Comme $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[a,b]$, les fonctions $|f|$ et $|f^{\prime }|$ sont continues sur le segment $[a,b]$. L'image d'un segment par une fonction continue est un segment : $|f|$ et $|f^{\prime }|$ sont bornées et atteignent leurs bornes. Il existe donc $M_1={\max }_{[a,b]}|f|$ et $M_2={\max }_{[a,b]}|f^{\prime }|$. En posant $M=\max (M_1,M_2)$,

$$\boxed{\forall t\in [a,b],|f(t)|⩽M\text{et}|f^{\prime }(t)|⩽M.}$$

Ce que le correcteur attend : deux majorants (un pour $f$, un pour $f^{\prime }$) puis leur maximum ; aucune monotonie de $f$ n'est supposée.

Q4 (b). Soit $\lambda >0$. Par l'inégalité triangulaire intégrale ($a<b$), puis $|\sin (\lambda t)|⩽1$ et Q4 (a),

$$\left|\frac{1}{\lambda }{\int }_a^b{f}^{\prime }(t)\sin (\lambda t)\mathrm{d}t\right|⩽\frac{1}{\lambda }{\int }_a^b|f^{\prime }(t)||\sin (\lambda t)|\mathrm{d}t⩽\frac{1}{\lambda }{\int }_a^{b}M\mathrm{d}t=\frac{M(b-a)}{\lambda }.$$

Ainsi $-\frac{M(b-a)}{\lambda }⩽\frac{1}{\lambda }{\int }_a^b{f}^{\prime }(t)\sin (\lambda t)\mathrm{d}t⩽\frac{M(b-a)}{\lambda }$, et les deux bornes tendent vers $0$ quand $\lambda \to +\infty$. Par le théorème d'encadrement, $\boxed{\underset{\lambda \to +\infty }{\lim }\frac{1}{\lambda }{\int }_a^b{f}^{\prime }(t)\sin (\lambda t)\mathrm{d}t=0.}$

Q4 (c). Soit $\lambda >0$. Posons $u=f$ et $v(t)=\frac{\sin (\lambda t)}{\lambda }$ : $u$ et $v$ sont de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[a,b]$, avec $v^{\prime }(t)=\cos (\lambda t)$. Par intégration par parties sur le segment $[a,b]$,

$${\int }_a^{b}f(t)\cos (\lambda t)\mathrm{d}t={\left[\frac{f(t)\sin (\lambda t)}{\lambda }\right]}_a^b-\frac{1}{\lambda }{\int }_a^b{f}^{\prime }(t)\sin (\lambda t)\mathrm{d}t.$$

Le terme entre crochets vérifie, par Q4 (a),

$$\left|\frac{f(b)\sin (\lambda b)-f(a)\sin (\lambda a)}{\lambda }\right|⩽\frac{|f(b)|+|f(a)|}{\lambda }⩽\frac{2M}{\lambda }\underset{\lambda \to +\infty }{\to }0,$$

donc tend vers $0$ par encadrement ; le second terme tend vers $0$ par Q4 (b). Par somme, $\boxed{\underset{\lambda \to +\infty }{\lim }{\int }_a^{b}f(t)\cos (\lambda t)\mathrm{d}t=0.}$

Ce que le correcteur attend : la limite du terme de bord justifiée (numérateur borné indépendamment de $\lambda$, d'où la majoration en $\frac{2M}{\lambda }$), pas seulement affirmée.