Corrigé Ecricome 2025 Maths approfondies ECG — Exercice 2 — Partie 1 (Q1.a à Q3.c) : Polynôme annulateur x³ − 4x² − 12x − 28 d'une matrice 3×3 : test en Python, inverse, unique valeur propre réelle, non-diagonalisabilité

Q1 (a). L'espace vectoriel ${\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$ est de dimension $3\times 3=9$. La famille $(I_3,M,\dots ,M^9)$ compte $10$ vecteurs de cet espace ; or dans un espace de dimension $9$, toute famille de plus de $9$ vecteurs est liée. Donc $\boxed{(I_3,M,M^2,\dots ,M^9)\text{ est lieˊe.}}$

Ce que le correcteur attend : l'argument de dimension, et non un calcul des puissances (ni l'affirmation fausse que les $M^k$ seraient proportionnelles entre elles).

Q1 (b). Par Q1 (a), il existe des réels $a_0,\dots ,a_9$ non tous nuls tels que ${\sum }_{k=0}^9{a}_k{M}^k=0$ (avec $M^0=I_3$). Le polynôme $Q={\sum }_{k=0}^9{a}_k{X}^k$ a au moins un coefficient non nul : il est non nul, de degré au plus $9$, et $Q(M)={\sum }_{k=0}^9{a}_k{M}^k=0$. C'est un polynôme annulateur non nul de $M$ de degré $⩽9$.

Q2 (a). On calcule $\phi (M)=M^3-4M^2-12M-28I_3$ avec le produit matriciel np.dot (et non *, qui multiplie coefficient par coefficient), puis on teste la nullité de tous les coefficients.

import numpy as np

def PolyAnn(M):
    n = np.shape(M)[0]
    I = np.eye(n)
    M2 = np.dot(M, M)
    M3 = np.dot(M2, M)
    Z = M3 - 4*M2 - 12*M - 28*I
    return bool(np.all(Z == 0))

M = np.array([[0, 3, 2], [2, 2, 4], [5, 0, 2]])
print(PolyAnn(M), PolyAnn(np.eye(3)))   # affiche : True False

Z == 0 est un tableau de booléens (un par coefficient) ; np.all renvoie vrai si et seulement si tous valent True, c'est-à-dire si $\phi (M)$ est la matrice nulle. Exécuté, le programme affiche True pour $M$ (coefficients entiers : le calcul est exact) et False pour $I_3$ ($\phi (I_3)=-43I_3\ne 0$). Pour une matrice à coefficients flottants, on remplacerait le test d'égalité par np.all(np.abs(Z) < 1e-10).