Corrigé Ecricome 2025 Maths approfondies ECG — Exercice 2 — Partie 3 (Q11 à Q17) : Unicité de la décomposition polaire M = UR : T commute avec S, vecteurs propres communs, N = ᵗPTP diagonale égale à Δ

Sujet officiel du concours Ecricome, session 2025, épreuve Maths approfondies ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations des parties 1 et 2 : $S =^{t} M M = P D^{t} P$ avec $P$ orthogonale et $D = diag (1, 16, 49)$ . On prend désormais pour $Δ$ la matrice diagonale à coefficients strictement positifs telle que $Δ^{2} = D$ , et $R = P Δ^{t} P$ (symétrique, inversible, $R^{2} = S$ ), $U = M R^{- 1}$ (orthogonale).

Q11. Montrer que les valeurs propres de $R$ sont strictement positives.
On suppose $M = V T$ avec $V$ orthogonale et $T$ symétrique réelle à valeurs propres strictement positives. On pose $N =^{t} P T P$ et l'on note $C_{1}, C_{2}, C_{3}$ les colonnes de $P$ .
Q12. Montrer que $T^{2} = S$ et $N^{2} = D$ .
Q13. Montrer que $T$ et $S$ commutent.
Q14. Soit $i \in [[1, 3]]$ et $E_{i}$ le $i$ -ième vecteur de la base canonique de $M_{3, 1} (R)$ . (a) Justifier que $P E_{i} = C_{i}$ . (b) Justifier que $C_{i}$ est vecteur propre de $S$ ; on note $λ_{i}$ la valeur propre. (c) Montrer que $T C_{i}$ appartient au sous-espace propre de $S$ associé à $λ_{i}$ . (d) Montrer que $T C_{i}$ et $C_{i}$ sont colinéaires.
Q15. Montrer que $N$ est diagonale.
Q16. Montrer que $N = Δ$ , puis que $T = R$ .
Q17. Montrer que $V = U$ .

Corrigé

Dans toute la partie, $Δ = diag (1, 4, 7)$ : c'est l'unique choix de Q7 (a) à coefficients strictement positifs. On utilise sans cesse $^{t} P P = P^{t} P = I_{3}$ .

Q11. Comme $^{t} P = P^{- 1}$ , $R = P Δ P^{- 1}$ : $R$ est semblable à $Δ$ . Précisément, pour $X \in M_{3, 1} (R)$ et $λ \in R$ ,

$R X = λ X ⟺ P Δ P^{- 1} X = λ X ⟺ Δ (P^{- 1} X) = λ (P^{- 1} X),$

et $P^{- 1} X \neq = 0 ⟺ X \neq = 0$ ( $P^{- 1}$ inversible). Donc $R$ et $Δ$ ont les mêmes valeurs propres. Celles d'une matrice diagonale sont ses coefficients diagonaux : $Sp (R) = Sp (Δ) = {1, 4, 7} \subset] 0, + \infty [.$

Q12. $T^{2} = S$ . $T$ est symétrique et $V$ orthogonale ( $^{t} V V = I_{3}$ ), donc $^{t} M =^{t} T^{t} V = T^{t} V$ et

$S =^{t} M M = T^{t} V V T = T I_{3} T = T^{2} .$

$N^{2} = D$ . Par définition de $N$ , puis $T^{2} = S$ et $S = P D^{t} P$ :

$N^{2} =^{t} P T (P^{t} P) T P =^{t} P T^{2} P =^{t} P S P =^{t} P P D^{t} P P = D .$

Donc $T^{2} = S et N^{2} = D .$

Q13. Par Q12, $T S = T T^{2} = T^{3} = T^{2} T = S T$ : $T et S commutent.$

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