Corrigé Ecricome 2025 Maths ECT — Exercice 1 — Partie 1 (Q1.a à Q5.d) : Matrice M d'ordre 3 : M = 2I + J, polynôme annulateur X² − 7X + 10, valeurs propres 5 et 2, diagonalisation et Mⁿ = (1/3) P Dⁿ Q

Q1.a. On retranche $2$ à chaque coefficient diagonal de $M$ et l'on ne touche pas aux autres :

$$J=M-2I=\left(\begin{array}{ccc}3-2& 1& 1\\ 1& 3-2& 1\\ 1& 1& 3-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right).$$

Tous les coefficients de $J$ valent $\boxed{1}$.

Q1.b. Le coefficient $(i,j)$ de $J^2$ est le produit de la ligne $i$ de $J$ par la colonne $j$ de $J$ : ${\sum }_{k=1}^{3}1\times 1=3$. Donc

$$J^2=\left(\begin{array}{ccc}3& 3& 3\\ 3& 3& 3\\ 3& 3& 3\end{array}\right)=\boxed{3J}.$$

Ce que le correcteur attend : le carré d'une matrice n'est pas la matrice des carrés des coefficients (on aurait trouvé $J$, ce qui est faux) ; et la question demande aussi l'expression « en fonction de $J$ », à ne pas oublier.

Q1.c. De $J=M-2I$ on tire $M=2I+J$. Les matrices $2I$ et $J$ commutent (la matrice identité commute avec toute matrice), donc on peut développer le carré comme pour des nombres :

$$M^2=(2I+J{)}^2=4I^2+2\times (2I)J+J^2=4I+4J+3J=\boxed{4I+7J},$$

où l'on a utilisé $I^2=I$, $IJ=J$ et $J^2=3J$ (Q1.b). Sans l'argument de commutation, on écrirait $(2I+J{)}^2=4I+2IJ+2JI+J^2$, ce qui donne le même résultat puisque $IJ=JI=J$.

Q1.d. Avec $M=2I+J$ : $7M-10I=14I+7J-10I=4I+7J$. D'après Q1.c, c'est $M^2$ : $\boxed{M^2=7M-10I}$.

Q2.a. D'après Q1.d, $R(M)=M^2-7M+10I=0$ (attention, le terme constant $10$ devient $10I$). Donc $R$ est un polynôme annulateur de $M$ (un, et non « le » : $XR(X)$, par exemple, en est un autre).