Ecricome 2025 — Maths ECT : sujet et corrigé

9 parties corrigées, avec un corrigé rédigé · filière ECT.

• Exercice 1 — Partie 1 (Q1.a à Q5.d) — Matrice M d'ordre 3 : M = 2I + J, polynôme annulateur X² − 7X + 10, valeurs propres 5 et 2, diagonalisation et Mⁿ = (1/3) P Dⁿ Q
• Exercice 1 — Partie 2 (Q6.a à Q7) — Deux suites couplées ramenées à deux suites géométriques de raisons 5 et 2, puis Mⁿ = aₙM + bₙI par récurrence
• Exercice 1 — Partie 3 (Q8.a à Q11.b) — Le chat et les trois maisons : probabilités totales, formule de Bayes, Cₙ₊₁ = (1/5) M Cₙ, loi et espérance de Xₙ
• Exercice 1 — Partie 4 (Q12 à Q15) — SQL : sélection, UPDATE, INSERT INTO et jointure INNER JOIN entre les tables chats et propriétaires
• Exercice 2 — Partie 1 (Q1 à Q9.d) — f(x) = eˣ + e⁻ˣ et g(x) = eˣ − e⁻ˣ : variations, convexité, tangente y = 2x et inflexion, tracé, aire e − 1/e − 1, inégalités
• Exercice 2 — Partie 2 (Q10 à Q14.c) — Suite uₙ définie par g(uₙ) = 1/n : théorème de la bijection, monotonie, limite monotone, dichotomie en Python, limite 0
• Exercice 3 — Partie 1 (Q1.a à Q2.e) — Loi exponentielle de paramètre 1 : répartition, absence de mémoire, X = −ln(U) avec U uniforme, simulation en Python
• Exercice 3 — Partie 2 (Q3.a à Q7) — Intégrales Iₙ de xⁿ⁻¹e⁻ˣ sur [0, +∞[ : intégration par parties, convergence par récurrence, Iₙ = (n − 1)!
• Exercice 3 — Partie 3 (Q8 à Q9.e) — Densités fₙ, espérance n, moyenne empirique, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, estimation de n et intervalles de confiance