Corrigé Ecricome 2025 Maths ECT — Exercice 2 — Partie 1 (Q1 à Q9.d) : f(x) = eˣ + e⁻ˣ et g(x) = eˣ − e⁻ˣ : variations, convexité, tangente y = 2x et inflexion, tracé, aire e − 1/e − 1, inégalités

Sujet officiel du concours Ecricome, session 2025, épreuve Maths ECT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour tout réel $x$ , $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ et $g (x) = e^{x} - e^{- x}$ ; $f$ et $g$ sont dérivables sur $R$ , de courbes $C_{f}$ et $C_{g}$ .

Q1. Montrer que $f^{'} = g$ et $g^{'} = f$ .
Q2.a. Limites de $g$ en $\pm \infty$ . Q2.b. Variations de $g$ , tableau.
Q3.a. Résoudre $g (x) = 0$ . Q3.b. Signe de $g$ . Q3.c. Tableau de variation de $f$ avec ses limites. Q3.d. Convexité de $f$ .
Q4. Convexité de $g$ .
Q5.a. Tangente $(T)$ à $C_{g}$ en $0$ . Q5.b. Position de $C_{g}$ et $(T)$ . Q5.c. En déduire $g (x) ⩽ 2 x$ pour $x ⩽ 0$ et $g (x) ⩾ 2 x$ pour $x ⩾ 0$ .
Q6.a. Justifier $f ⩾ g$ sur $R$ . Q6.b. Position de $C_{f}$ et $C_{g}$ .
Q7. Tracer $C_{f}$ , $C_{g}$ et $(T)$ .
Q8. $A$ est l'aire du domaine limité par $(T)$ et $C_{f}$ entre $0$ et $1$ . Q8.a. Le hachurer. Q8.b. Aire sous $C_{f}$ entre $x = 0$ et $x = 1$ . Q8.c. Calculer $A$ .
Q9. On pose $h (x) = f (x) - 2 - x^{2}$ et $k (x) = g (x) - 2 x - \frac{1}{3} x^{3}$ (dérivables). Q9.a. Calculer $h^{'}$ . Q9.b. En déduire $f (x) ⩾ 2 + x^{2}$ . Q9.c. Calculer $k^{'}$ . Q9.d. En déduire $g (x) ⩽ 2 x + \frac{1}{3} x^{3}$ pour $x ⩽ 0$ et $g (x) ⩾ 2 x + \frac{1}{3} x^{3}$ pour $x ⩾ 0$ .

Corrigé

Q1. Pour tout réel $x$ , la dérivée de $x \mapsto e^{x}$ est $x \mapsto e^{x}$ , et celle de $x \mapsto e^{- x}$ est $x \mapsto - e^{- x}$ (dérivée de $e^{u}$ avec $u (x) = - x$ , $u^{'} (x) = - 1$ ). Par somme et différence :

$f^{'} (x) = e^{x} - e^{- x} = g (x), g^{'} (x) = e^{x} - (- e^{- x}) = e^{x} + e^{- x} = f (x) .$

Donc $f^{'} = g et g^{'} = f$ sur $R$ .

Q2.a. En $+ \infty$ . $lim_{x \to + \infty} e^{x} = + \infty$ et $lim_{x \to + \infty} e^{- x} = 0$ (car $- x \to - \infty$ et $lim_{X \to - \infty} e^{X} = 0$ ). Par différence, $x \to + \infty lim g (x) = + \infty$ .

En $- \infty$ . $lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0$ et $lim_{x \to - \infty} e^{- x} = + \infty$ (car $- x \to + \infty$ ). Donc $x \to - \infty lim g (x) = - \infty$ .

Q2.b. Pour tout réel $x$ , $g^{'} (x) = f (x) = e^{x} + e^{- x} > 0$ comme somme de deux exponentielles strictement positives. La dérivée étant strictement positive sur l'intervalle $R$ , $g$ est strictement croissante sur $R$ , avec $g (0) = 1 - 1 = 0$ :

Ce que le correcteur attend : le signe de $g^{'}$ justifié (et non « lu » sur un tableau de signes, comme s'il s'agissait d'un produit), et des limites cohérentes avec la croissance.

Q3.a. Pour tout réel $x$ , en multipliant par $e^{x} > 0$ :

$g (x) = 0 ⟺ e^{x} = e^{- x} ⟺ e^{2 x} = 1 ⟺ 2 x = 0 ⟺ x = 0,$

la dernière équivalence venant de ce que la fonction exponentielle est une bijection de $R$ sur $] 0, + \infty [$ prenant la valeur $1$ en $0$ seulement. L'équation $g (x) = 0$ a pour unique solution $x = 0$ .

Q3.b. $g$ est strictement croissante (Q2.b) et $g (0) = 0$ : si $x < 0$ , $g (x) < g (0) = 0$ ; si $x > 0$ , $g (x) > 0$ . D'où le signe : $g < 0$ sur $] - \infty, 0 [$ , $g (0) = 0$ , $g > 0$ sur $] 0, + \infty [$ .

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