Corrigé Ecricome 2025 Maths ECT — Exercice 3 — Partie 2 (Q3.a à Q7) : Intégrales Iₙ de xⁿ⁻¹e⁻ˣ sur [0, +∞[ : intégration par parties, convergence par récurrence, Iₙ = (n − 1)!

Remarque préalable.

Pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, la fonction $x\mapsto x^{n-1}{\mathrm{e}}^{-x}$ est continue sur $[0,+\infty [$ (produit d'une fonction polynomiale et d'une exponentielle ; pour $n=1$, c'est $x\mapsto {\mathrm{e}}^{-x}$). Les intégrales $I_n(A)$ sont donc des intégrales de fonctions continues sur un segment, et l'intégrale $I_n$ converge par définition lorsque $I_n(A)$ admet une limite finie quand $A\to +\infty$ ; sa valeur est alors cette limite.

Q3.a. Soit $A>0$. Une primitive de $x\mapsto {\mathrm{e}}^{-x}$ sur $\mathbb{R}$ est $x\mapsto -{\mathrm{e}}^{-x}$, donc

$$I_1(A)={\int }_0^A{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=[-{\mathrm{e}}^{-x}{]}_0^A=-{\mathrm{e}}^{-A}-(-{\mathrm{e}}^0)=\boxed{1-{\mathrm{e}}^{-A}}.$$

Ce que le correcteur attend : un calcul sur le segment $[0,A]$, sans limite à ce stade, et des signes exacts ($-{\mathrm{e}}^{-A}+1$, et non ${\mathrm{e}}^{-A}-1$).