Corrigé Ecricome 2025 Maths ECT — Exercice 3 — Partie 1 (Q1.a à Q2.e) : Loi exponentielle de paramètre 1 : répartition, absence de mémoire, X = −ln(U) avec U uniforme, simulation en Python

Q1.a. $T\hookrightarrow \mathcal{E}(1)$ admet pour densité la fonction $f_T$ définie par

$$f_T(t)={\mathrm{e}}^{-t}\text{ si }t⩾0,f_T(t)=0\text{ si }t<0.$$

D'après le cours (loi exponentielle de paramètre $\lambda$ : espérance $\frac{1}{\lambda }$, variance $\frac{1}{{\lambda }^2}$), avec $\lambda =1$ :

$$\boxed{E(T)=1,V(T)=1.}$$

Ce que le correcteur attend : la densité complète, avec sa valeur nulle sur $]-\infty ,0[$ ; et les trois éléments demandés.

Q1.b. Pour $x<0$, $F_T(x)={\int }_{-\infty }^{x}0\mathrm{d}t=0$ ; pour $x⩾0$, $F_T(x)={\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=[-{\mathrm{e}}^{-t}{]}_0^x=1-{\mathrm{e}}^{-x}$. Donc

$$\boxed{F_T(x)=0\text{ si }x<0,F_T(x)=1-{\mathrm{e}}^{-x}\text{ si }x⩾0.}$$

Q1.c. « Vivre au plus trois jours » est l'événement $[T⩽3]$ :

$$P(T⩽3)=F_T(3)=\boxed{1-{\mathrm{e}}^{-3}}\approx 0,950.$$

Q1.d. On cherche la probabilité de $[T⩾2]$ sachant $[T⩾1]$. Comme $T$ est à densité, $P(T=1)=0$, donc $P(T⩾1)=1-F_T(1)={\mathrm{e}}^{-1}\ne 0$ et la probabilité conditionnelle a un sens. De plus $[T⩾2]\subset [T⩾1]$, d'où $[T⩾1]\cap [T⩾2]=[T⩾2]$ et

$$P_{[T⩾1]}(T⩾2)=\frac{P(T⩾2)}{P(T⩾1)}=\frac{1-F_T(2)}{1-F_T(1)}=\frac{{\mathrm{e}}^{-2}}{{\mathrm{e}}^{-1}}=\boxed{{\mathrm{e}}^{-1}}\approx 0,368.$$