Corrigé Ecricome 2025 Maths ECT — Exercice 3 — Partie 3 (Q8 à Q9.e) : Densités fₙ, espérance n, moyenne empirique, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, estimation de n et intervalles de confiance

Sujet officiel du concours Ecricome, session 2025, épreuve Maths ECT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour $n \in N^{*}$ , $f_{n} (x) = \frac{1}{( n - 1 )!} x^{n - 1} e^{- x}$ si $x ⩾ 0$ et $f_{n} (x) = 0$ si $x < 0$ . On rappelle (partie 2) que $I_{n} = \int_{0}^{+ \infty} x^{n - 1} e^{- x} d x$ converge et vaut $(n - 1)!$ .

Q8. Montrer que $f_{n}$ est une densité de probabilité.
Q9. Soit $Y$ de densité $f_{n}$ . Q9.a. Montrer que $Y$ admet une espérance et que $E (Y) = n$ . On admet $V (Y) = n$ .
Q9.b. $(Y_{N})_{N ⩾ 1}$ est une suite de variables indépendantes de même loi que $Y$ , et $F_{N} = \frac{1}{N} (Y_{1} + \dots + Y_{N})$ . Espérance et variance de $F_{N}$ .
Q9.c. Avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev (rappelée), majorer $P (∣ F_{N} - n ∣ ⩾ ε)$ en fonction de $n$ , $N$ , $ε$ .
Q9.d. Un programme trace une réalisation de $F_{N}$ pour $N$ de $1$ à $200$ , $n$ étant inconnu : estimer $n$ .
Q9.e. Dix réalisations de $F_{N}$ donnent dix intervalles de confiance $[F_{N} - ε, F_{N} + ε]$ , avec $ε = \frac{1}{10}$ , $N = 600$ et $n$ la valeur conjecturée ; trois d'entre eux ne contiennent pas $n$ . Expliquer pourquoi.

Corrigé

Q8. Soit $n \in N^{*}$ . On vérifie les trois conditions de la définition d'une densité.

Positivité. Pour $x < 0$ , $f_{n} (x) = 0$ . Pour $x ⩾ 0$ , $x^{n - 1} ⩾ 0$ , $e^{- x} > 0$ et $(n - 1)! > 0$ , donc $f_{n} (x) ⩾ 0$ .
Continuité. Sur $] - \infty, 0 [$ , $f_{n}$ est nulle, donc continue ; sur $[0, + \infty [$ , elle coïncide avec $x \mapsto \frac{1}{( n - 1 )!} x^{n - 1} e^{- x}$ , continue. Donc $f_{n}$ est continue sur $R$ sauf peut-être en $0$ (pour $n = 1$ , elle y saute de $0$ à $1$ ; pour $n ⩾ 2$ , elle y est continue, mais ce n'est pas utile).
Intégrale. $\int_{- \infty}^{0} f_{n} (x) d x = \int_{- \infty}^{0} 0 d x$ converge et vaut $0$ . Sur $[0, + \infty [$ , par linéarité et d'après Q6 et Q7, $\int_{0}^{+ \infty} f_{n} (x) d x = \frac{1}{( n - 1 )!} I_{n}$ converge et vaut $\frac{( n - 1 )!}{( n - 1 )!} = 1$ . Les deux morceaux convergent, donc $\int_{- \infty}^{+ \infty} f_{n} (x) d x$ converge et vaut $0 + 1 = 1$ .

Ainsi, $f_{n} est une densit e ˊ de probabilit e ˊ$ pour tout $n \in N^{*}$ . (Pour $n = 1$ , c'est la densité de la loi $E (1)$ de la partie 1.)

Ce que le correcteur attend : faire le lien avec $I_{n} = (n - 1)!$ de Q7 pour l'intégrale ; ne pas affirmer « $f_{n}$ continue sur $R$ » sans regarder le point $0$ (pour $n = 1$ c'est faux), mais savoir aussi qu'un nombre fini de points de discontinuité est permis.

Q9.a. $Y$ admet une espérance si et seulement si $\int_{- \infty}^{+ \infty} x f_{n} (x) d x$ converge. Sur $] - \infty, 0]$ , l'intégrande est nul : $\int_{- \infty}^{0} x f_{n} (x) d x$ converge et vaut $0$ . Pour $x ⩾ 0$ ,

$x f_{n} (x) = \frac{1}{( n - 1 )!} x^{n} e^{- x} = \frac{1}{( n - 1 )!} x^{(n + 1) - 1} e^{- x},$

qui est, au facteur $\frac{1}{( n - 1 )!}$ près, l'intégrande de $I_{n + 1}$ . Par Q6 (appliquée à $n + 1 \in N^{*}$ ), $\int_{0}^{+ \infty} x f_{n} (x) d x$ converge, et par Q7

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