Corrigé Ecricome 2025 Maths ECT — Exercice 1 — Partie 2 (Q6.a à Q7) : Deux suites couplées ramenées à deux suites géométriques de raisons 5 et 2, puis Mⁿ = aₙM + bₙI par récurrence

Sujet officiel du concours Ecricome, session 2025, épreuve Maths ECT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$M$ est la matrice de la partie 1, qui vérifie $M^{2} = 7 M - 10 I$ . Les suites $(a_{n})$ , $(b_{n})$ , $(u_{n})$ , $(v_{n})$ sont définies par $a_{0} = 0$ , $b_{0} = 1$ et, pour tout $n \in N$ , $a_{n + 1} = 7 a_{n} + b_{n}$ , $b_{n + 1} = - 10 a_{n}$ , puis $u_{n} = 5 a_{n} + b_{n}$ et $v_{n} = - 2 a_{n} - b_{n}$ .

Q6.a. Montrer que $(u_{n})$ est géométrique de raison $5$ et exprimer $u_{n}$ .
Q6.b. Montrer que $(v_{n})$ est géométrique et exprimer $v_{n}$ .
Q6.c. En déduire $a_{n} = \frac{1}{3} (5^{n} - 2^{n})$ et $b_{n} = \frac{1}{3} (5 \times 2^{n} - 2 \times 5^{n})$ .
Q7. Montrer par récurrence que $M^{n} = a_{n} M + b_{n} I$ pour tout $n \in N$ .
On admet ensuite l'expression explicite de $M^{n}$ (coefficients diagonaux $\frac{1}{3} (5^{n} + 2^{n + 1})$ , autres $\frac{1}{3} (5^{n} - 2^{n})$ ).

Corrigé

Q6.a. Soit $n \in N$ . On exprime $u_{n + 1}$ à l'aide des relations de récurrence, puis on reconnaît $u_{n}$ :

$u_{n + 1} = 5 a_{n + 1} + b_{n + 1} = 5 (7 a_{n} + b_{n}) - 10 a_{n} = 35 a_{n} + 5 b_{n} - 10 a_{n} = 25 a_{n} + 5 b_{n} = 5 (5 a_{n} + b_{n}) = 5 u_{n} .$

La relation $u_{n + 1} = 5 u_{n}$ vaut pour tout $n \in N$ : la suite $(u_{n})_{n ⩾ 0}$ est géométrique de raison $5$ . Son premier terme est $u_{0} = 5 a_{0} + b_{0} = 0 + 1 = 1$ , d'où, par le terme général d'une suite géométrique,

$\forall n \in N, u_{n} = u_{0} \times 5^{n} = 5^{n} .$

Ce que le correcteur attend : une relation $u_{n + 1} = 5 u_{n}$ établie pour tout $n$ (calculer $u_{0}$ , $u_{1}$ , $u_{2}$ ne prouve rien), et le premier terme, sans lequel on ne peut pas exprimer $u_{n}$ .

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