Corrigé Ecricome 2025 Maths ECT — Exercice 1 — Partie 3 (Q8.a à Q11.b) : Le chat et les trois maisons : probabilités totales, formule de Bayes, Cₙ₊₁ = (1/5) M Cₙ, loi et espérance de Xₙ

Traduction de l'énoncé.

Pour $n⩾1$ et $i,j\in \{1,2,3\}$ tels que $P(X_n=i)\ne 0$, l'énoncé dit que

$$P_{[X_n=i]}([X_{n+1}=j])=\frac{3}{5}\text{ si }j=i,P_{[X_n=i]}([X_{n+1}=j])=\frac{1-\frac{3}{5}}{2}=\frac{1}{5}\text{ si }j\ne i.$$

Ces deux nombres valent $\frac{m_{ij}}{5}$, où $m_{ij}$ est le coefficient de $M$ en ligne $i$, colonne $j$ ($3$ sur la diagonale, $1$ ailleurs). C'est la clé de Q10.

Q8.a. Comme $X_1=1$ est certaine, $P(X_1=1)=1$ et $P([X_1=1]\cap A)=P(A)$ pour tout événement $A$. Donc

$$P(X_2=1)=P_{[X_1=1]}(X_2=1)=\frac{3}{5}.$$

Le second jour, le chat change de maison avec probabilité $1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$, et les deux autres maisons $2$ et $3$ sont alors équiprobables : $P_{[X_1=1]}(X_2=2)=P_{[X_1=1]}(X_2=3)=\frac{1}{2}\times \frac{2}{5}=\frac{1}{5}$, d'où

$$\boxed{P(X_2=1)=\frac{3}{5},P(X_2=2)=P(X_2=3)=\frac{1}{5}.}$$

Contrôle : $\frac{3}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}=1$.

Q8.b. $X_2$ est une variable aléatoire finie, à valeurs dans $\{1,2,3\}$ ; elle admet donc une espérance :

$$E(X_2)=1\times \frac{3}{5}+2\times \frac{1}{5}+3\times \frac{1}{5}=\frac{3+2+3}{5}=\boxed{\frac{8}{5}}.$$

Q8.c. Par le théorème de transfert, $E(X_2^2)=1\times \frac{3}{5}+4\times \frac{1}{5}+9\times \frac{1}{5}=\frac{16}{5}$. La formule de Kœnig-Huygens donne

$$V(X_2)=E(X_2^2)-(E(X_2){)}^2=\frac{16}{5}-\frac{64}{25}=\frac{80-64}{25}=\boxed{\frac{16}{25}},$$

et l'écart-type vaut $\sigma (X_2)=\sqrt{V(X_2)}=\boxed{\frac{4}{5}}$.

Ce que le correcteur attend : $V(X_2)$ n'est pas $E(X_2^2)$ ; $X_2$ ne suit aucune loi usuelle (ni uniforme, ni binomiale) ; et la question demande aussi l'écart-type.

Q9.a. Les événements $[X_2=1]$, $[X_2=2]$, $[X_2=3]$ forment un système complet d'événements, tous de probabilité non nulle (Q8.a). Par la formule des probabilités totales, avec les probabilités conditionnelles de la traduction :