Corrigé Ecricome 2025 Maths ECT — Exercice 2 — Partie 2 (Q10 à Q14.c) : Suite uₙ définie par g(uₙ) = 1/n : théorème de la bijection, monotonie, limite monotone, dichotomie en Python, limite 0

Sujet officiel du concours Ecricome, session 2025, épreuve Maths ECT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$g (x) = e^{x} - e^{- x}$ est la fonction de la partie 1 ( $g$ est strictement croissante sur $R$ , de limites $- \infty$ et $+ \infty$ , et $g (0) = 0$ ).

Q10. Pour $n \in N^{*}$ , montrer que l'équation $g (x) = \frac{1}{n}$ a une unique solution, notée $u_{n}$ .
Q11. Montrer que $0 < u_{1} < 1$ (on donne $e ≃ 2, 7$ et $e^{- 1} ≃ 0, 4$ ).
Q12. Montrer que $u_{n} > 0$ pour tout $n \in N^{*}$ .
Q13.a. Montrer que $(u_{n})_{n ⩾ 1}$ est décroissante. Q13.b. En déduire qu'elle converge.
Q14.a. Python (numpy importé sous np) : écrire d(x, n) qui renvoie $g (x) - \frac{1}{n}$ .
Q14.b. Compléter les quatre trous d'une fonction SuiteU(n) qui, par dichotomie sur $[0, 1]$ (test d(a,k+1)*d(c,k+1) < 0), renvoie des valeurs approchées à $1 0^{- 3}$ près de $u_{1}, \dots, u_{n}$ : la condition de la boucle while, les deux mises à jour, et la valeur rangée dans U[k].
Q14.c. Au vu du tracé des $100$ premiers termes, conjecturer la limite de $(u_{n})$ .

Corrigé

Q10. Soit $n \in N^{*}$ . On applique le théorème de la bijection (corollaire du théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction strictement monotone) à $g$ sur l'intervalle $R$ :

$g$ est continue sur $R$ (elle y est dérivable) ;
$g$ est strictement croissante sur $R$ (partie 1, Q2.b : $g^{'} = f > 0$ ) ;
$lim_{x \to - \infty} g (x) = - \infty$ et $lim_{x \to + \infty} g (x) = + \infty$ (partie 1, Q2.a).

Donc $g$ réalise une bijection de $R$ sur $] lim_{- \infty} g, lim_{+ \infty} g [= R$ . Comme $\frac{1}{n} \in R$ , le réel $\frac{1}{n}$ a un et un seul antécédent par $g$ : l'équation $g (x) = \frac{1}{n}$ admet une unique solution $u_{n} \in R$ .

Ce que le correcteur attend : les trois hypothèses du théorème, et en particulier « $\frac{1}{n}$ appartient à l'intervalle image ». Résoudre l'équation à la main n'est pas demandé (c'est possible, voir la remarque de Q14.c, mais bien plus long).

Q11. On compare $g (u_{1}) = 1$ aux valeurs de $g$ en $0$ et en $1$ .

$g (0) = 1 - 1 = 0 < 1$ .
$g (1) = e - e^{- 1}$ . Avec les valeurs données, $g (1) ≃ 2, 7 - 0, 4 = 2, 3$ . Sans approximation : $e > 2$ , donc $e^{- 1} < \frac{1}{2}$ et $g (1) > 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} > 1$ .

Ainsi $g (0) < g (u_{1}) < g (1)$ . Si l'on avait $u_{1} ⩽ 0$ , la croissance de $g$ donnerait $g (u_{1}) ⩽ g (0) = 0$ , ce qui est faux ; de même $u_{1} ⩾ 1$ donnerait $g (u_{1}) ⩾ g (1) > 1$ . Donc $0 < u_{1} < 1$ .

Q12. Soit $n \in N^{*}$ . On a $g (u_{n}) = \frac{1}{n} > 0 = g (0)$ . Si $u_{n} ⩽ 0$ , la croissance de $g$ imposerait $g (u_{n}) ⩽ g (0) = 0$ : contradiction. Donc $u_{n} > 0$ . (Aucune récurrence n'est utile : l'argument vaut pour chaque $n$ séparément.)

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