Corrigé Ecricome 2026 Maths appliquées ECG — Exercice 1 (début) (Q1 à Q7) : Choix successifs de deux compagnies : loi du couple (X, Y), loi marginale de Y, E(Y) = (n + 3)/4, E(XY) et covariance (n² − 1)/24, non-indépendance

Sujet officiel du concours Ecricome, session 2026, épreuve Maths appliquées ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Soit $n ⩾ 2$ . Un classement fixe range $n$ compagnies d'assurances de $1$ (la mieux classée) à $n$ . La première année, un particulier choisit une compagnie au hasard, uniformément ; $X$ est son numéro. L'année suivante, il choisit uniformément une compagnie parmi celles de numéro inférieur ou égal à $X$ (il peut garder la même) ; $Y$ est son numéro.

Q1. Reconnaître la loi de $X$ ; donner $E (X)$ et $V (X)$ .
Q2. Montrer que, pour $(j, k) \in [[1, n]]^{2}$ , $P ([X = j] \cap [Y = k]) = \frac{1}{nj}$ si $k ⩽ j$ et $0$ si $k ⩾ j + 1$ .
Q3. En déduire $\sum_{k = 1}^{n} \sum_{j = k}^{n} \frac{1}{j}$ .
Q4. Écrire $P (Y = k)$ sous forme d'une somme.
Q5. (a) Montrer que $\sum_{k = 1}^{n} \sum_{j = k}^{n} \frac{k}{j} = \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{n} (j + 1)$ . (b) Justifier que $Y$ admet une espérance et montrer que $E (Y) = \frac{n + 3}{4}$ .
Q6. (a) Justifier l'existence de $E (X Y)$ et montrer que $E (X Y) = \frac{1}{2 n} \sum_{j = 1}^{n} j (j + 1)$ . (b) En déduire $E (X Y)$ en fonction de $n$ . (c) Calculer $Cov (X, Y)$ .
Q7. $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

Corrigé

Q1. Le particulier choisit une compagnie parmi $n$ avec équiprobabilité : $X (Ω) = [[1, n]]$ et $P (X = j) = \frac{1}{n}$ pour tout $j \in [[1, n]]$ . Donc $X$ suit la loi uniforme sur $[[1, n]]$ , $X ↪ U ([[1, n]])$ , et d'après le cours

$E (X) = \frac{n + 1}{2}, V (X) = \frac{n ^{2} - 1}{12} .$

Ce que le correcteur attend : le paramètre d'une loi uniforme discrète est l'ensemble d'entiers $[[1, n]]$ (et non l'entier $n$ , ni l'intervalle réel $[1, n]$ ) ; l'espérance et la variance font partie de la réponse.

Q2. Soit $(j, k) \in [[1, n]]^{2}$ . On a $P (X = j) = \frac{1}{n} \neq = 0$ , ce qui autorise le conditionnement par $[X = j]$ . Sachant $[X = j]$ , le particulier choisit uniformément l'une des $j$ compagnies $1, \dots, j$ (celles qui sont au moins aussi bien classées que la compagnie $j$ ) : la loi conditionnelle de $Y$ sachant $[X = j]$ est la loi uniforme sur $[[1, j]]$ , c'est-à-dire

$P_{[X = j]} (Y = k) = \frac{1}{j} si k ⩽ j, P_{[X = j]} (Y = k) = 0 si k ⩾ j + 1.$

Par la formule des probabilités composées, $P ([X = j] \cap [Y = k]) = P (X = j) P_{[X = j]} (Y = k)$ , d'où

$P ([X = j] \cap [Y = k]) = \frac{1}{nj} si k ⩽ j, P ([X = j] \cap [Y = k]) = 0 si k ⩾ j + 1.$

Q3. Par la loi du couple. Les événements $[X = j] \cap [Y = k]$ , $(j, k) \in [[1, n]]^{2}$ , forment un système complet d'événements (car $X$ et $Y$ prennent leurs valeurs dans $[[1, n]]$ ) ; la somme de leurs probabilités vaut $1$ . Les seuls termes non nuls sont ceux où $k ⩽ j$ , c'est-à-dire, pour $k$ fixé dans $[[1, n]]$ , $j \in [[k, n]]$ . Donc

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