Ecricome 2026 — Maths appliquées ECG : sujet et corrigé

9 parties corrigées, avec un corrigé rédigé · filière ECG.

• Exercice 1 (début) (Q1 à Q7) — Choix successifs de deux compagnies : loi du couple (X, Y), loi marginale de Y, E(Y) = (n + 3)/4, E(XY) et covariance (n² − 1)/24, non-indépendance
• Exercice 1 (suite) (Q8.a à Q9.e) — Simulation du couple, coefficient de corrélation empirique, droite des moindres carrés par le point moyen, probabilité de garder la même compagnie équivalente à ln(n)/n
• Exercice 1 (fin) (Q10.a à Q10.d) — Requêtes SQL sur les assurés et les avis : COUNT avec condition, jointure interne, moyenne par GROUP BY, classement par ORDER BY DESC
• Exercice 2 — Partie I (Q1 à Q5) — Étude de f(x) = ln(1/(1 − x)) : domaine, limites, variations, développement limité x + x²/2, tangente y = x et position, allure de la courbe
• Exercice 2 — Partie II (Q6.a à Q9.b) — Série harmonique divergente, convergence absolue pour |x| < 1, suites adjacentes des sommes alternées et majoration de l'erreur par 1/n, divergence pour x > 1
• Exercice 2 — Partie III (Q10.a à Q14.c) — Reste intégral R_n(a) : intégration par parties, f(a) = S_n(a) + R_n(a) par récurrence, majoration du reste, calcul approché de ln 2 en Python
• Exercice 3 — Partie I (Q1 à Q3) — Problème de Cauchy résolu à la main : la somme x + y est constante, solution affine x(t) = 1 + 2t, y(t) = 1 − 2t
• Exercice 3 — Partie II (Q4 à Q11) — Matrice A de seule valeur propre 0, non diagonalisable, semblable à J ; équilibres et résolution du système différentiel par changement de fonctions inconnues
• Exercice 3 — Partie III (Q12 à Q17) — Matrice nilpotente : indice de nilpotence en Python, spectre réduit à 0, non-diagonalisabilité, solution X(t) = B(t)X0 du problème de Cauchy