Corrigé Ecricome 2026 Maths appliquées ECG — Exercice 1 (suite) (Q8.a à Q9.e) : Simulation du couple, coefficient de corrélation empirique, droite des moindres carrés par le point moyen, probabilité de garder la même compagnie équivalente à ln(n)/n

Sujet officiel du concours Ecricome, session 2026, épreuve Maths appliquées ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On reprend $n ⩾ 2$ et le couple $(X, Y)$ de Q1 à Q7.

Q8. (a) Écrire une fonction Python simulXY(n) renvoyant une réalisation de $(X, Y)$ . (b) Expliquer ce que renvoie la fonction Myst(Tab) du sujet, qui calcule M = np.cov(Tab) pour une série double $(x, y)$ rangée en deux lignes, puis le quotient de M[0,1] par la racine de M[0,0]*M[1,1]. (c) Le sujet montre quatre tracés du nuage de $1000$ réalisations de $(X, Y)$ pour $n = 100$ , avec le point moyen ; tracé 1 : une ligne brisée qui passe par l'origine et le point moyen ; tracé 2 : une droite de pente positive passant par le point moyen ; tracé 3 : une droite issue de l'origine qui passe au-dessus du point moyen ; tracé 4 : une droite de pente négative passant par le point moyen. Lequel représente la droite d'ajustement affine par les moindres carrés ?

Q9. $A_{n}$ : « le particulier garde la même compagnie les deux années ». (a) Exprimer $A_{n}$ à l'aide de $X$ et $Y$ . (b) Montrer que $P (A_{n}) = \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} \frac{1}{j}$ . (c) Montrer que, pour tout $j ⩾ 1$ , $\frac{1}{j + 1} ⩽ ln (j + 1) - ln (j) ⩽ \frac{1}{j}$ . (d) En déduire $\frac{l n ( n + 1 )}{n} ⩽ P (A_{n}) ⩽ \frac{1}{n} + \frac{l n ( n )}{n}$ . (e) Montrer que $P (A_{n}) \sim \frac{l n ( n )}{n}$ quand $n \to + \infty$ .

Corrigé

Q8. (a) On suit l'expérience : $X$ suit la loi uniforme sur $[[1, n]]$ ; sachant $[X = x]$ , $Y$ suit la loi uniforme sur $[[1, x]]$ (Q2). L'appel rd.randint(a, b) simule la loi uniforme sur $[[a, b - 1]]$ , d'où les bornes $n + 1$ et $x + 1$ .


import numpy.random as rd

def simulXY(n):
    x = rd.randint(1, n + 1)   # X uniforme sur [[1, n]]
    y = rd.randint(1, x + 1)   # sachant X = x : Y uniforme sur [[1, x]]
    return (x, y)

Le second tirage utilise la valeur x obtenue au premier : c'est ce qui réalise le conditionnement. Exécutée $1000$ fois avec $n = 100$ , la fonction a donné des moyennes empiriques $x ˉ \approx 50, 6$ et $y ˉ \approx 25, 4$ , proches de $E (X) = 50, 5$ et $E (Y) = \frac{103}{4} = 25, 75$ (Q1, Q5).

Ce que le correcteur attend : une simulation (des tirages aléatoires), et non un calcul des probabilités $\frac{1}{nj}$ .

(b) D'après l'annexe, M est la matrice $(v_{x} s_{x, y} s_{x, y} v_{y})$ ; la fonction renvoie donc

$R = \frac{s _{x, y}}{v _{x} v _{y}} = \frac{s _{x, y}}{s _{x} s _{y}},$

où $s_{x} = v_{x}$ et $s_{y} = v_{y}$ sont les écarts-types : Myst renvoie le coefficient de corrélation linéaire empirique $r_{x y}$ de la série double $(x, y)$ . Il appartient à $[- 1, 1]$ et mesure la qualité d'un ajustement affine : $∣ r_{x y} ∣$ proche de $1$ signale des points presque alignés. (La fonction np.cov de Python normalise en réalité par $N - 1$ au lieu de $N$ ; ce facteur commun se simplifie dans le quotient, qui est bien $r_{x y}$ .) Sur les $1000$ réalisations simulées en (a), l'exécution a renvoyé $R \approx 0, 642$ , voisin du coefficient de corrélation théorique $\frac{Cov ( X , Y )}{σ ( X ) σ ( Y )} \approx 0, 652$ pour $n = 100$ .

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