Corrigé Ecricome 2026 Maths appliquées ECG — Exercice 2 — Partie II (Q6.a à Q9.b) : Série harmonique divergente, convergence absolue pour |x| < 1, suites adjacentes des sommes alternées et majoration de l'erreur par 1/n, divergence pour x > 1

Q6. (a) ${\sum }_{k⩾1}\frac{1}{k}$ est la série de Riemann d'exposant $\alpha =1$ (série harmonique). D'après le théorème des séries de Riemann, $\sum \frac{1}{k^{\alpha }}$ converge si et seulement si $\alpha >1$ ; ici $\alpha =1⩽1$, donc $\boxed{\text{la seˊrie }\sum _{k⩾1}\frac{1}{k}\text{ diverge.}}$

(b) Pour $n⩾1$, $S_{n+1}(1)-S_n(1)=\frac{1}{n+1}>0$ : $\boxed{(S_n(1){)}_{n⩾1}\text{ est strictement croissante.}}$

(c) La suite $(S_n(1))$ est la suite des sommes partielles de la série $\sum \frac{1}{k}$ ; celle-ci diverge (Q6(a)), donc $(S_n(1))$ ne converge pas. Or $(S_n(1))$ est croissante (Q6(b)) : par le théorème de la limite monotone, une suite croissante majorée converge ; $(S_n(1))$ n'est donc pas majorée, et une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$. Ainsi $\boxed{\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n(1)=+\infty .}$

Ce que le correcteur attend : « divergente » ne veut pas dire « tend vers $+\infty$ » : c'est la monotonie qui permet de conclure.

Q7. Soit $x\in ]-1,1[$. Pour $k⩾1$, $0⩽\left|\frac{x^k}{k}\right|=\frac{|x{|}^k}{k}⩽|x{|}^k$. La série géométrique $\sum |x{|}^k$ converge car $0⩽|x|<1$. Par les règles de comparaison pour les séries à termes positifs, $\sum \left|\frac{x^k}{k}\right|$ converge : $\boxed{\sum _{k⩾1}\frac{x^k}{k}\text{ converge absolument},}$ donc converge (une série absolument convergente est convergente). La fonction $S$ est donc bien définie sur $]-1,1[$ ; en $x=-1$, elle l'est grâce à Q8.