Corrigé Ecricome 2026 Maths appliquées ECG — Exercice 2 — Partie III (Q10.a à Q14.c) : Reste intégral R_n(a) : intégration par parties, f(a) = S_n(a) + R_n(a) par récurrence, majoration du reste, calcul approché de ln 2 en Python

Dans toute la partie, $a<1$ ; pour $t$ compris entre $0$ et $a$ (au sens large), $t⩽\max (0,a)<1$, donc $1-t>0$ : les fonctions intégrées sont continues sur le segment d'extrémités $0$ et $a$, et toutes les intégrales écrites existent.

Q10. (a) Sur ce segment, $t\mapsto -\ln (1-t)$ est une primitive de $t\mapsto \frac{1}{1-t}$ et $t\mapsto \frac{1}{1-t}$ est une primitive de $t\mapsto \frac{1}{(1-t{)}^2}$ (sa dérivée est $\frac{-(-1)}{(1-t{)}^2}$). D'où

$$\begin{array}{c}{\int }_0^a\frac{\mathrm{d}t}{1-t}=[-\ln (1-t){]}_0^a=-\ln (1-a)=\boxed{f(a)},\\ {\int }_0^a\frac{\mathrm{d}t}{(1-t{)}^2}=[\frac{1}{1-t}{]}_0^a=\frac{1}{1-a}-1=\boxed{\frac{a}{1-a}}.\end{array}$$

Ces calculs valent quel que soit le signe de $a$ (aucune disjonction de cas n'est utile).

(b) Avec $a-t=(a-1)+(1-t)$ et la linéarité de l'intégrale :

$$\begin{array}{rl}{R}_1(a)& ={\int }_0^a\frac{(a-1)+(1-t)}{(1-t{)}^2}\mathrm{d}t=(a-1){\int }_0^a\frac{\mathrm{d}t}{(1-t{)}^2}+{\int }_0^a\frac{\mathrm{d}t}{1-t}\\ & =(a-1)\cdot \frac{a}{1-a}+f(a)=-a+f(a).\end{array}$$

Donc $\boxed{f(a)=a+R_1(a).}$

Q11. Soit $n⩾1$. Sur le segment d'extrémités $0$ et $a$, on pose

$$\begin{array}{c}u(t)=-\frac{(a-t{)}^{n+1}}{n+1},u^{\prime }(t)=(a-t{)}^n;\\ v(t)=\frac{1}{(1-t{)}^{n+1}}=(1-t{)}^{-(n+1)},v^{\prime }(t)=\frac{n+1}{(1-t{)}^{n+2}}.\end{array}$$

Les fonctions $u$ et $v$ sont de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur ce segment ($u$ est polynomiale ; $v$ est une puissance de $1-t$, qui ne s'y annule pas). Par la formule d'intégration par parties,

$$R_n(a)={\int }_0^a{u}^{\prime }(t)v(t)\mathrm{d}t=[u(t)v(t){]}_0^a-{\int }_0^{a}u(t)v^{\prime }(t)\mathrm{d}t.$$

Le crochet vaut $u(a)v(a)-u(0)v(0)=0-\left(-\frac{a^{n+1}}{n+1}\right)=\frac{a^{n+1}}{n+1}$, et

$$-{\int }_0^{a}u(t)v^{\prime }(t)\mathrm{d}t={\int }_0^a\frac{(a-t{)}^{n+1}}{n+1}\cdot \frac{n+1}{(1-t{)}^{n+2}}\mathrm{d}t=R_{n+1}(a).$$

Donc $\boxed{R_n(a)=\frac{a^{n+1}}{n+1}+R_{n+1}(a).}$

Ce que le correcteur attend : c'est $\frac{1}{(1-t{)}^{n+1}}$ que l'on dérive (et non $(1-t{)}^{n+1}$), et $(a-t{)}^n$ que l'on primitive ; les signes se contrôlent sur le résultat.

Q12. Montrons par récurrence sur $n⩾1$ la propriété $\mathcal{P}(n)$ : $f(a)=S_n(a)+R_n(a)$.

Initialisation. $S_1(a)=a$, et $f(a)=a+R_1(a)$ par Q10(b) : $\mathcal{P}(1)$ est vraie.