Corrigé Ecricome 2026 Maths appliquées ECG — Exercice 2 — Partie I (Q1 à Q5) : Étude de f(x) = ln(1/(1 − x)) : domaine, limites, variations, développement limité x + x²/2, tangente y = x et position, allure de la courbe

Q1. $f(x)$ est défini si et seulement si $1-x\ne 0$ et $\frac{1}{1-x}>0$. Un réel non nul et son inverse ont le même signe : $\frac{1}{1-x}>0⟺1-x>0⟺x<1$. Donc

$$\boxed{I=]-\infty ,1[.}$$

Pour $x\in I$, $f(x)=-\ln (1-x)$, écriture plus commode pour la suite.

Q2. En $-\infty$. Quand $x\to -\infty$, $1-x\to +\infty$ et, par composition avec ${\lim }_{u\to +\infty }\ln (u)=+\infty$, $\ln (1-x)\to +\infty$ ; donc $\boxed{\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty .}$

En $1^{-}$. Quand $x\to 1$ avec $x<1$, $1-x\to 0^{+}$ et, par composition avec ${\lim }_{u\to 0^{+}}\ln (u)=-\infty$, $\ln (1-x)\to -\infty$ ; donc $\boxed{\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=+\infty .}$ La droite d'équation $x=1$ est asymptote verticale à la courbe.

Ce que le correcteur attend : des compositions de limites, pas de « continuité de $\ln$ en $0$ » ($\ln$ n'est pas définie en $0$), ni de croissances comparées, inutiles ici.

Q3. La fonction $x\mapsto 1-x$ est dérivable sur $I$, à valeurs dans $]0,+\infty [$ où $\ln$ est dérivable ; par composition, $f$ est dérivable sur $I$ et, pour $x\in I$,