Corrigé Ecricome 2026 Maths appliquées ECG — Exercice 3 — Partie II (Q4 à Q11) : Matrice A de seule valeur propre 0, non diagonalisable, semblable à J ; équilibres et résolution du système différentiel par changement de fonctions inconnues

Q4. $P$ est triangulaire inférieure et ses coefficients diagonaux, $1$ et $1$, sont tous non nuls : $P$ est inversible (on peut aussi dire $\det (P)=1\cdot 1-0\cdot (-1)=1\ne 0$). La formule d'inversion des matrices d'ordre $2$, ${\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$, donne

$$\boxed{P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right).}$$

Vérification : $P{P}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+0\cdot 1& 0\\ -1\cdot 1+1\cdot 1& 1\end{array}\right)=I_2$.

Ce que le correcteur attend : « triangulaire » ne suffit pas, il faut des coefficients diagonaux non nuls.

Q5. D'après la caractérisation des valeurs propres, $\lambda \in \mathrm{Sp}(A)$ si et seulement si $A-\lambda I_2$ n'est pas inversible. Or

$$\begin{array}{c}A-\lambda I_2=\left(\begin{array}{cc}1-\lambda & 1\\ -1& -1-\lambda \end{array}\right),\\ \det (A-\lambda I_2)=(1-\lambda )(-1-\lambda )-1\cdot (-1)=-(1-{\lambda }^2)+1={\lambda }^2,\end{array}$$

et une matrice d'ordre $2$ est non inversible si et seulement si son déterminant est nul. Donc $\lambda \in \mathrm{Sp}(A)⟺{\lambda }^2=0⟺\lambda =0$ :

$$\boxed{\mathrm{Sp}(A)=\{0\}.}$$

(Un vecteur propre associé est $\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$, puisque $A\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$.)