Corrigé Ecricome 2026 Maths appliquées ECG — Exercice 3 — Partie I (Q1 à Q3) : Problème de Cauchy résolu à la main : la somme x + y est constante, solution affine x(t) = 1 + 2t, y(t) = 1 − 2t

Problème de Cauchy $(\mathcal{C})$, d'inconnues $x,y$ dérivables sur $\mathbb{R}$ : pour tout réel $t$, $x^{\prime }(t)=x(t)+y(t)$ et $y^{\prime }(t)=-x(t)-y(t)$, avec $x(0)=1$ et $y(0)=1$. On suppose que $(x,y)$ est solution et l'on pose $s(t)=x(t)+y(t)$.

Q1. Déterminer $s^{\prime }$.
Q2. En déduire une relation entre $x(t)$ et $y(t)$, pour tout réel $t$.
Q3. Déterminer l'unique couple solution de $(\mathcal{C})$.