Corrigé Ecricome 2026 Maths approfondies ECG — Exercice 1 (début) (Q1.a à Q4) : Intégrales impropres de (1 − e^(−t))/t et e^(−t)/t, intégrale de Frullani G(a) = ln a, changement de variable u = e^(−t) : ∫(u − 1)/ln u = ln 2

Un outil servira plusieurs fois. Par convexité de l'exponentielle (sa courbe est au-dessus de sa tangente en $0$), ${\mathrm{e}}^y⩾1+y$ pour tout réel $y$ ; avec $y=-s$ :

$$\forall s\in \mathbb{R},1-{\mathrm{e}}^{-s}⩽s.\text{\hspace{1em}(∗)}$$

Q1 (a). La fonction $g:t\mapsto \frac{1-{\mathrm{e}}^{-t}}{t}$ est continue sur $]0,1]$ : l'intégrale n'est impropre qu'en $0$. Pour $t\in ]0,1]$, ${\mathrm{e}}^{-t}⩽1$ donne $g(t)⩾0$, et $(\ast )$ donne $1-{\mathrm{e}}^{-t}⩽t$, d'où

$$0⩽g(t)⩽1.$$

L'intégrale ${\int }_0^{1}1\mathrm{d}t$ converge ; par le critère de comparaison des intégrales de fonctions continues positives, $\boxed{{\int }_0^1\frac{1-{\mathrm{e}}^{-t}}{t}\mathrm{d}t\text{ converge.}}$

(On peut aussi dire : $1-{\mathrm{e}}^{-t}\underset{t\to 0}{\sim }t$, donc $g(t)\to 1$ : $g$ se prolonge par continuité en $0$ et l'intégrale est faussement impropre.)

Q1 (b). La fonction $t\mapsto \frac{{\mathrm{e}}^{-t}}{t}$ est continue et positive sur $[1,+\infty [$, et pour $t⩾1$, $0⩽\frac{{\mathrm{e}}^{-t}}{t}⩽{\mathrm{e}}^{-t}$. Or ${\int }_1^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t$ converge (intégrale de référence $\int {\mathrm{e}}^{-\alpha t}$ avec $\alpha =1>0$). Par comparaison de fonctions positives, $\boxed{{\int }_1^{+\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-t}}{t}\mathrm{d}t\text{ converge.}}$

Ce que le correcteur attend : la continuité de l'intégrande sur l'intervalle ouvert à la borne impropre, et la positivité, sans laquelle aucun critère de comparaison ne s'applique.

Q2 (a). Soit $a>0$. La fonction $h_a$ est continue sur $]0,+\infty [$ ; elle n'est pas de signe constant en général (elle est positive si $a>1$, négative si $a<1$), donc on ne compare pas directement : on découpe en $1$ et on utilise la linéarité.