Ecricome 2026 — Maths approfondies ECG : sujet et corrigé

9 parties corrigées, avec un corrigé rédigé · filière ECG.

• Exercice 1 (début) (Q1.a à Q4) — Intégrales impropres de (1 − e^(−t))/t et e^(−t)/t, intégrale de Frullani G(a) = ln a, changement de variable u = e^(−t) : ∫(u − 1)/ln u = ln 2
• Exercice 1 (fin) (Q5.a à Q5.d) — Sommes de Riemann et méthode de Monte-Carlo pour approcher ln 2 en Python, comparaison des deux méthodes
• Exercice 2 (début) (Q1.a à Q4.g) — Diagonalisation d'une matrice triangulaire 3×3, endomorphisme φ(P) = (x² − 1)P'' + 5xP' : spectre {k(k + 4)}, polynômes propres unitaires G_k de degré k
• Exercice 2 (suite) (Q5.a à Q8.e) — Parité des G_k, produit scalaire à poids (1 − t²)^(3/2), ‖G_0‖² = 3π/8, φ endomorphisme symétrique et base orthogonale (G_0, …, G_k)
• Exercice 2 (fin) (Q9.a à Q10.b) — Coordonnées dans une base orthogonale, relation de récurrence à trois termes xG_k = G_(k+1) + γ_k G_(k−1), G_3 = x³ − 3x/8, calcul des G_k en Python
• Problème — Partie I (Q1.a à Q3.b) — Temps d'attente de r zéros consécutifs : loi géométrique, espérances conditionnelles, formule de l'espérance totale, E(X) = ((d + 1)^(r+1) − d − 1)/d
• Problème — Partie II (début) (Q4 à Q6.c) — Loi uniforme sur ⟦0, d⟧, loi de la somme de deux lancers, simulation en Python du premier passage T au-dessus de d et conjecture E(T) → e
• Problème — Partie II (fin) (Q7.a à Q8.e) — E(V) = Σ P(V ≥ n), dérivées successives de r!/(1 − t)^(r+1), formule de Taylor avec reste intégral, E(T) = ((d + 1)/d)^d et sa limite e
• Problème — Partie III (Q9.a à Q12.c) — Sommes de lois uniformes continues : produit de convolution, densité triangulaire, P(S_n < d) = 1/n!, premier passage T avec E(T) = e