Corrigé Ecricome 2026 Maths approfondies ECG — Problème — Partie I (Q1.a à Q3.b) : Temps d'attente de r zéros consécutifs : loi géométrique, espérances conditionnelles, formule de l'espérance totale, E(X) = ((d + 1)^(r+1) − d − 1)/d

Notons $Z_k$ le résultat du $k$-ième lancer : les $Z_k$ sont mutuellement indépendantes, de loi uniforme sur $[[0,d]]$. Posons $q=\frac{1}{d+1}=P(Z_k=0)$ et $p=1-q=\frac{d}{d+1}$. L'espérance conditionnelle $E(X|A)$ est notée $E(X/A)$ dans le cours.

Q1 (a). Somme géométrique de raison $x\ne 1$, commençant à $k=1$ : $\boxed{\sum _{k=1}^r{x}^k=x\frac{1-x^r}{1-x}.}$

Q1 (b). Notons $S={\sum }_{k=1}^{r}k{x}^{k-1}$. En décalant l'indice dans la première somme ($k\to k+1$),

$$\begin{array}{rl}(1-x)S& =\sum _{k=1}^{r}k{x}^{k-1}-\sum _{k=1}^{r}k{x}^k=\sum _{k=0}^{r-1}(k+1)x^k-\sum _{k=1}^{r}k{x}^k\\ & =1+\sum _{k=1}^{r-1}{x}^k-r{x}^r=\sum _{k=0}^{r-1}{x}^k-r{x}^r.\end{array}$$

Comme ${\sum }_{k=0}^{r-1}{x}^k=\frac{1-x^r}{1-x}$, on obtient $(1-x)S=\frac{1-x^r}{1-x}-r{x}^r$, puis

$$\boxed{(1-x{)}^2\sum _{k=1}^{r}k{x}^{k-1}=1-(r+1)x^r+r{x}^{r+1}}$$

$$\boxed{\sum _{k=1}^{r}k{x}^{k-1}=\frac{1-(r+1)x^r+r{x}^{r+1}}{(1-x{)}^2}.}$$

Contrôle : pour $r=2$, $(1-x{)}^2(1+2x)=1-3x^2+2x^3$.

Q1 (c). Chaque lancer est un « succès » (valeur non nulle) avec probabilité $p=\frac{d}{d+1}\in ]0,1[$, les lancers étant indépendants ; $Y$ est le rang du premier succès dans cette suite d'épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre $p$. Explicitement, pour $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, par indépendance,