Corrigé Ecricome 2026 Maths approfondies ECG — Exercice 2 (suite) (Q5.a à Q8.e) : Parité des G_k, produit scalaire à poids (1 − t²)^(3/2), ‖G_0‖² = 3π/8, φ endomorphisme symétrique et base orthogonale (G_0, …, G_k)

Sujet officiel du concours Ecricome, session 2026, épreuve Maths approfondies ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations de Q1 à Q4 : $φ (P) = (x^{2} - 1) P^{''} + 5 x P^{'}$ sur $R_{n} [x]$ , $G_{k}$ unitaire de degré $k$ engendrant $E_{k (k + 4)} (φ)$ . Pour $P, Q \in R_{n} [x]$ , on pose $⟨ P, Q ⟩ = \int_{- 1}^{1} P (t) Q (t) (1 - t^{2})^{3/2} d t$ .

Q5. Soit $P$ vecteur propre de $φ$ associé à $k (k + 4)$ et $Q (x) = P (- x)$ . (a) Exprimer $Q^{'}$ et $Q^{''}$ . (b) Montrer que $Q$ est vecteur propre associé à $k (k + 4)$ . (c) En déduire la parité de $G_{k}$ .
Q6. Montrer que $⟨, ⟩$ est un produit scalaire sur $R_{n} [x]$ .
Q7. (a) Par le changement de variable $t = sin s$ , justifié, montrer que $\int_{- 1}^{1} (1 - t^{2})^{3/2} d t = \int_{- π /2}^{π /2} cos^{4} (s) d s$ . (b) Montrer que $cos^{4} s = \frac{1}{8} (cos 4 s + 4 cos 2 s + 3)$ . (c) En déduire $∥ G_{0} ∥^{2}$ .
Q8. (a) Dériver $t \mapsto P^{'} (t) (1 - t^{2})^{5/2}$ . (b) Montrer que $⟨ φ (P), Q ⟩ = \int_{- 1}^{1} P^{'} (t) Q^{'} (t) (1 - t^{2})^{5/2} d t$ . (c) Qu'en déduire sur $φ$ ? (d) Pour $k \in [[1, n]]$ , $(G_{0}, \dots, G_{k})$ est une base orthogonale de $R_{k} [x]$ . (e) En déduire que $G_{k}$ est orthogonal à $R_{k - 1} [x]$ .

Corrigé

Notons $λ_{k} = k (k + 4)$ et $w (t) = (1 - t^{2})^{3/2}$ pour $t \in [- 1, 1]$ .

Q5 (a). Par dérivation d'une composée ( $x \mapsto - x$ a pour dérivée $- 1$ ) : $Q^{'} (x) = - P^{'} (- x), Q^{''} (x) = P^{''} (- x) .$

Q5 (b). $Q$ est un polynôme de même degré que $P$ , donc $Q \in R_{n} [x]$ . Pour tout réel $x$ , avec Q5 (a),

$φ (Q) (x) = (x^{2} - 1) P^{''} (- x) - 5 x P^{'} (- x) = ((- x)^{2} - 1) P^{''} (- x) + 5 (- x) P^{'} (- x) = φ (P) (- x) = λ_{k} P (- x) = λ_{k} Q (x) .$

Enfin $Q \neq = 0$ : si $Q$ était nul, on aurait $P (y) = Q (- y) = 0$ pour tout réel $y$ , donc $P = 0$ , alors qu'un vecteur propre est non nul. Ainsi $Q est un vecteur propre de φ associ e ˊ a ˋ k (k + 4) .$

Ce que le correcteur attend : la non-nullité de $Q$ , sans laquelle « vecteur propre » est faux.

Q5 (c). Appliquons Q5 (b) à $P = G_{k}$ : $x \mapsto G_{k} (- x)$ appartient à $E_{λ_{k}} (φ) = Vect (G_{k})$ , donc $G_{k} (- x) = μ G_{k} (x)$ pour un réel $μ$ . Comme $G_{k} = x^{k} + \dots$ est unitaire de degré $k$ (Q4 (g)), le coefficient de $x^{k}$ dans $G_{k} (- x)$ est $(- 1)^{k}$ ; en identifiant les coefficients de $x^{k}$ , $μ = (- 1)^{k}$ . Donc

$\forall x \in R, G_{k} (- x) = (- 1)^{k} G_{k} (x)$

$G_{k}$ est pair si $k$ est pair, impair si $k$ est impair : il ne contient que des puissances de $x$ de la parité de $k$ , ce que confirment $G_{0}$ , $G_{1}$ , $G_{2}$ .

Q6. Bonne définition. Sur $[- 1, 1]$ , $1 - t^{2} ⩾ 0$ et $y \mapsto y^{3/2}$ est continue sur $[0, + \infty [$ : $w$ est continue sur $[- 1, 1]$ , et $t \mapsto P (t) Q (t) w (t)$ aussi. L'intégrale est celle d'une fonction continue sur un segment : $⟨ P, Q ⟩$ est un réel bien défini.

Symétrie. Pour tout $t$ , $P (t) Q (t) w (t) = Q (t) P (t) w (t)$ , donc $⟨ P, Q ⟩ = ⟨ Q, P ⟩$ .

Linéarité à gauche. Pour $P_{1}, P_{2}, Q \in R_{n} [x]$ et $λ \in R$ , par linéarité de l'intégrale sur un segment,

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