Corrigé Ecricome 2026 Maths approfondies ECG — Problème — Partie II (fin) (Q7.a à Q8.e) : E(V) = Σ P(V ≥ n), dérivées successives de r!/(1 − t)^(r+1), formule de Taylor avec reste intégral, E(T) = ((d + 1)/d)^d et sa limite e

Q7 (a). $V$ étant à valeurs entières, pour tout $i\in \mathbb{N}$, $[V⩾i]=[V=i]\cup [V⩾i+1]$, réunion disjointe, donc $P(V=i)=P(V⩾i)-P(V⩾i+1)$. Soit $N\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ ; en séparant la somme puis en décalant l'indice dans la seconde ($i+1\to i$),

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^{N}iP(V=i)& =\sum _{i=1}^{N}iP(V⩾i)-\sum _{i=1}^{N}iP(V⩾i+1)\\ & =\sum _{i=1}^{N}iP(V⩾i)-\sum _{i=2}^{N+1}(i-1)P(V⩾i)\\ & =P(V⩾1)+\sum _{i=2}^N(i-(i-1))P(V⩾i)-NP(V⩾N+1)\\ & =\sum _{i=1}^{N}P(V⩾i)-NP(V⩾N+1).\end{array}$$

D'où $\boxed{\sum _{n=1}^{N}P(V⩾n)=\sum _{i=1}^{N}iP(V=i)+NP(V⩾N+1).}$

Ce que le correcteur attend : un calcul sur des sommes finies, chaque étape écrite (ou, de façon équivalente, l'interversion de la somme double ${\sum }_{n=1}^N{\sum }_{i=n}^N$).

Q7 (b). Notons $L={\sum }_{n=1}^{+\infty }P(V⩾n)$, finie par hypothèse. Les termes étant positifs, Q7 (a) donne, pour tout $N⩾1$,

$$0⩽\sum _{i=1}^{N}iP(V=i)⩽\sum _{n=1}^{N}P(V⩾n)⩽L.$$

La série ${\sum }_{i⩾1}iP(V=i)$ est à termes positifs et ses sommes partielles sont majorées : elle converge. Comme $V⩾0$ (le terme d'indice $0$ est nul), cette convergence est une convergence absolue : $\boxed{V\text{ admet une espeˊrance.}}$

Q7 (c). Par $\sigma$-additivité, $P(V⩾N+1)={\sum }_{i=N+1}^{+\infty }P(V=i)$, et pour $i⩾N+1$, $N⩽i$ ; donc