Corrigé Ecricome 2026 Maths approfondies ECG — Exercice 2 (fin) (Q9.a à Q10.b) : Coordonnées dans une base orthogonale, relation de récurrence à trois termes xG_k = G_(k+1) + γ_k G_(k−1), G_3 = x³ − 3x/8, calcul des G_k en Python

Sujet officiel du concours Ecricome, session 2026, épreuve Maths approfondies ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations de Q1 à Q8 : $⟨ P, Q ⟩ = \int_{- 1}^{1} P (t) Q (t) (1 - t^{2})^{3/2} d t$ , $(G_{0}, \dots, G_{k})$ base orthogonale de $R_{k} [x]$ , $G_{k}$ unitaire de degré $k$ , de la parité de $k$ .

Q9. (a) Vérifier que $⟨ P Q, R ⟩ = ⟨ P, QR ⟩$ . (b) Justifier que, pour $P \in R_{n} [x]$ de degré $d$ , $P = \sum_{i = 0}^{d} \frac{⟨ P , G _{i} ⟩}{∥ G _{i} ∥ ^{2}} G_{i}$ . (c) Pour $k \in [[1, n - 1]]$ , montrer qu'il existe un unique triplet $(α_{k}, β_{k}, γ_{k})$ de réels tel que $x G_{k} = α_{k} G_{k + 1} + β_{k} G_{k} + γ_{k} G_{k - 1}$ . (d) Montrer que $α_{k} = 1$ et $β_{k} = 0$ ; on admet $γ_{k} = \frac{k ( k + 3 )}{4 ( k + 2 ) ( k + 1 )}$ . (e) Déterminer $G_{3}$ .
Q10. Un polynôme de $R_{n} [x]$ est représenté par le tableau numpy de ses $n + 1$ coefficients, par puissances croissantes. (a) Compléter une fonction Prod(P, n) qui renvoie le tableau de $x P$ . (b) Écrire VP(n, k) qui renvoie le tableau de $G_{k}$ .

Corrigé

Q9 (a). L'intégrale qui définit $⟨, ⟩$ a un sens pour deux polynômes quelconques (même si $P Q$ sort de $R_{n} [x]$ ), et

$⟨ P Q, R ⟩ = \int_{- 1}^{1} (P (t) Q (t)) R (t) (1 - t^{2})^{3/2} d t = \int_{- 1}^{1} P (t) (Q (t) R (t)) (1 - t^{2})^{3/2} d t = ⟨ P, QR ⟩,$

par associativité du produit des réels. $⟨ P Q, R ⟩ = ⟨ P, QR ⟩ .$ On s'en servira avec $Q = x$ , où tous les polynômes restent dans $R_{n} [x]$ .

Q9 (b). Soit $P$ de degré $d$ , donc $P \in R_{d} [x]$ .

Si $d ⩾ 1$ , $(G_{0}, \dots, G_{d})$ est une base de $R_{d} [x]$ (Q8 (d)) : $P = \sum_{i = 0}^{d} c_{i} G_{i}$ pour des réels $c_{i}$ . Pour $j \in [[0, d]]$ , par bilinéarité et orthogonalité,

$⟨ P, G_{j} ⟩ = i = 0 \sum d c_{i} ⟨ G_{i}, G_{j} ⟩ = c_{j} ∥ G_{j} ∥^{2},$

et $∥ G_{j} ∥ \neq = 0$ car $G_{j} \neq = 0$ : $c_{j} = \frac{⟨ P , G _{j} ⟩}{∥ G _{j} ∥ ^{2}}$ . Si $d = 0$ , $P = c$ est constant, $G_{0} = 1$ , et $\frac{⟨ c , 1 ⟩}{∥1 ∥ ^{2}} G_{0} = c = P$ . Dans tous les cas, $P = i = 0 \sum d \frac{⟨ P , G _{i} ⟩}{∥ G _{i} ∥ ^{2}} G_{i} .$

Ce que le correcteur attend : le calcul des coordonnées dans une base orthogonale (et non orthonormée) : on multiplie scalairement par $G_{j}$ , et l'on divise par $∥ G_{j} ∥^{2} \neq = 0$ .

Q9 (c). Soit $k \in [[1, n - 1]]$ . Le polynôme $x G_{k}$ est de degré $k + 1 ⩽ n$ (Q4 (g)) ; par Q9 (b),

$x G_{k} = i = 0 \sum k + 1 c_{i} G_{i}, c_{i} = \frac{⟨ x G _{k} , G _{i} ⟩}{∥ G _{i} ∥ ^{2}} .$

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →