Corrigé Ecricome 2026 Maths approfondies ECG — Exercice 1 (fin) (Q5.a à Q5.d) : Sommes de Riemann et méthode de Monte-Carlo pour approcher ln 2 en Python, comparaison des deux méthodes

Q5 (a). C'est le théorème des sommes de Riemann (pas $\frac{1}{n}$ sur $[0,1]$) : pour $\phi$ continue sur $[0,1]$,

$$\boxed{\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}\phi \left(\frac{k}{n}\right)={\int }_0^1\phi (t)\mathrm{d}t.}$$

Appliqué à $f$, continue sur $[0,1]$ : $\frac{1}{n}{\sum }_{k=0}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right)\to {\int }_0^{1}f=\ln 2$ (Q4).

Q5 (b). On programme $f$ en traitant à part les points $0$ et $1$, où la formule $\frac{u-1}{\ln u}$ n'a pas de sens ; dans la somme, seul $k=0$ (point $u=0$) est concerné.

import numpy as np
import numpy.random as rd

def f(u):
    if u == 0 or u == 1:
        return u
    return (u - 1) / np.log(u)

def Rect(n):
    s = 0
    for k in range(n):          # k = 0, 1, ..., n-1
        s = s + f(k / n)
    return s / n

print(Rect(10), Rect(100), Rect(1000), np.log(2))

La boucle accumule $f\left(\frac{k}{n}\right)$ pour $k$ de $0$ à $n-1$, puis on divise par $n$. Exécuté, ce programme affiche $0,63151$, $0,68737$, $0,69259$ et $\ln 2\approx 0,69315$ : l'écart à $\ln 2$ vaut environ $6,2\cdot 10^{-2}$, $5,8\cdot 10^{-3}$ et $5,6\cdot 10^{-4}$.

Ce que le correcteur attend : le cas $k=0$ : np.log(0) vaut $-\infty$ et produit un avertissement ; c'est la valeur $f(0)=0$ qui doit être utilisée.