Corrigé Ecricome 2026 Maths approfondies ECG — Problème — Partie II (début) (Q4 à Q6.c) : Loi uniforme sur ⟦0, d⟧, loi de la somme de deux lancers, simulation en Python du premier passage T au-dessus de d et conjecture E(T) → e

Sujet officiel du concours Ecricome, session 2026, épreuve Maths approfondies ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On lance de façon indépendante un dé équilibré à $d + 1$ faces numérotées de $0$ à $d$ ( $d ⩾ 2$ ) ; $U_{n}$ est le numéro obtenu au $n$ -ième lancer et $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} U_{k}$ . Bibliothèques : numpy as np, numpy.random as rd, matplotlib.pyplot as plt ; rd.randint(a, b) simule la loi uniforme sur $[[a, b - 1]]$ .

Q4. Loi et espérance de $U_{n}$ .
Q5. (a) Donner $S_{2} (Ω)$ . (b) Montrer que $P (S_{2} = k) = \sum_{i = 0}^{d} P (U_{1} = i) P (U_{2} = k - i)$ pour $k \in S_{2} (Ω)$ . (c) Montrer que $P (S_{2} = k) = \frac{k + 1}{( d + 1 ) ^{2}}$ si $0 ⩽ k < d$ et $\frac{2 d + 1 - k}{( d + 1 ) ^{2}}$ si $k ⩾ d$ . (d) Déterminer $P (S_{2} ⩾ d)$ .
Q6. Soit $T$ le plus petit $n \in N^{*}$ tel que $S_{n} ⩾ d$ . (a) Écrire Atteinte(d) qui simule l'expérience et renvoie $T$ . (b) On admet que $T$ a une espérance ; compléter EspT(d, N), qui renvoie une valeur approchée de $E (T)$ (en ajoutant $N$ fois une quantité à E puis en renvoyant E/N) ; quel théorème est utilisé ? (c) Le sujet trace EspT(d, 10000) pour $d$ de $2$ à $251$ , avec la droite d'ordonnée $e$ : que conjecturer ?

Corrigé

Q4. Le dé est équilibré : $P (U_{n} = i) = \frac{1}{d + 1}$ pour $0 ⩽ i ⩽ d$ , et

$U_{n} ↪ U ([[0, d]]), E (U_{n}) = \frac{d}{2} .$

En effet $E (U_{n}) = \frac{1}{d + 1} \sum_{i = 0}^{d} i = \frac{1}{d + 1} \cdot \frac{d ( d + 1 )}{2} = \frac{d}{2}$ .

Ce que le correcteur attend : la loi uniforme discrète sur $[[0, d]]$ (et non sur $[0, d]$ ) ; la variance n'est pas demandée.

Q5 (a). $U_{1}$ et $U_{2}$ prennent toutes les valeurs de $[[0, d]]$ , donc $S_{2}$ prend ses valeurs dans $[[0, 2 d]]$ , et chacune est atteinte ( $k = i + j$ avec $i = min (k, d)$ , $j = k - i \in [[0, d]]$ ) : $S_{2} (Ω) = [[0, 2 d]] .$

Q5 (b). Soit $k \in [[0, 2 d]]$ . La famille $([U_{1} = i])_{0 ⩽ i ⩽ d}$ est un système complet d'événements, donc

$[S_{2} = k] = i = 0 ⋃ d ([U_{1} = i] \cap [U_{2} = k - i]),$

réunion d'événements deux à deux incompatibles. Par additivité, puis par indépendance de $U_{1}$ et $U_{2}$ (lancers indépendants),

$P (S_{2} = k) = i = 0 \sum d P ([U_{1} = i] \cap [U_{2} = k - i]) = i = 0 \sum d P (U_{1} = i) P (U_{2} = k - i) .$

L'indice $i$ parcourt $[[0, d]] = U_{1} (Ω)$ ; lorsque $k - i \in / [[0, d]]$ , le terme est nul.

Q5 (c). Le terme d'indice $i$ vaut $\frac{1}{d + 1} \cdot \frac{1}{d + 1}$ si $0 ⩽ k - i ⩽ d$ , soit $k - d ⩽ i ⩽ k$ , et $0$ sinon. On compte donc les entiers $i$ de $[[max (0, k - d), min (d, k)]]$ .

Si $0 ⩽ k < d$ : $k - d < 0$ et $k < d$ , l'intervalle est $[[0, k]]$ , qui a $k + 1$ éléments.
Si $d ⩽ k ⩽ 2 d$ : $k - d ⩾ 0$ et $k ⩾ d$ , l'intervalle est $[[k - d, d]]$ , qui a $d - (k - d) + 1 = 2 d + 1 - k$ éléments.

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