Corrigé Ecricome 2026 Maths approfondies ECG — Problème — Partie III (Q9.a à Q12.c) : Sommes de lois uniformes continues : produit de convolution, densité triangulaire, P(S_n < d) = 1/n!, premier passage T avec E(T) = e

Sujet officiel du concours Ecricome, session 2026, épreuve Maths approfondies ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Soit $d > 0$ réel et $(U_{n})_{n ⩾ 1}$ des variables indépendantes de loi uniforme sur $[0, d]$ . On pose $S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} U_{i}$ , et l'on admet que $S_{n}$ est à densité, de densité notée $f_{n}$ . On réutilise Q7 de la partie II.

Q9. (a) Rappeler une densité de $S_{1}$ , son espérance et sa variance. (b) Justifier que $f_{2} (x) = 0$ pour $x \in] - \infty, 0 [\cup [2 d, + \infty [$ . (c) Montrer que $f_{2} (x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{d ^{2}} d t$ pour $x \in [0, d]$ . (d) En déduire $f_{2} (x)$ pour tout réel $x$ .
Q10. Soit $n \in N^{*}$ . On suppose que $f_{n}$ est nulle sur $] - \infty, 0 [$ et que $f_{n} (x) = \frac{x ^{n - 1}}{( n - 1 )! d ^{n}}$ pour $x \in [0, d]$ . (a) Justifier que $f_{n + 1}$ est nulle sur $] - \infty, 0 [$ . (b) Montrer que $f_{n + 1} (x) = \frac{x ^{n}}{n ! d ^{n + 1}}$ pour $x \in [0, d]$ .
Q11. Montrer que $P (S_{n} < d) = \frac{1}{n !}$ pour tout $n \in N^{*}$ .
Q12. Soit $T = min {n \in N^{*}, S_{n} ⩾ d}$ . (a) Que vaut $P (T = 1)$ ? (b) Exprimer $[T > n]$ à l'aide de $[S_{n} < d]$ . (c) Établir l'existence de $E (T)$ et la calculer.

Corrigé

Q9 (a). $S_{1} = U_{1} ↪ U ([0, d])$ : une densité est $f_{1} (x) = \frac{1}{d}$ si $x \in [0, d]$ , $f_{1} (x) = 0$ sinon, et

$f_{1} = \frac{1}{d} 1_{[0, d]}, E (S_{1}) = \frac{d}{2}, V (S_{1}) = \frac{d ^{2}}{12} .$

(La densité vaut $\frac{1}{d}$ , et non $1$ ou $\frac{1}{d + 1}$ : c'est l'inverse de la longueur de l'intervalle.)

Quelle densité $f_{2}$ ? Une densité n'est déterminée qu'à un nombre fini de valeurs près ; les égalités demandées portent sur la densité fournie par le théorème du produit de convolution. Les variables $U_{1}$ et $U_{2}$ sont indépendantes, à densité, et $f_{1}$ est bornée : la fonction

$f_{2} (x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f_{1} (t) f_{1} (x - t) d t$

est définie pour tout réel $x$ , et c'est une densité de $S_{2} = U_{1} + U_{2}$ . Pour $x$ fixé, $f_{1} (t) f_{1} (x - t)$ vaut $\frac{1}{d ^{2}}$ si $t \in [0, d]$ et $x - t \in [0, d]$ , c'est-à-dire si $t \in I_{x} = [0, d] \cap [x - d, x]$ , et $0$ sinon. Donc $f_{2} (x) = \frac{1}{d ^{2}} \times (longueur de I_{x})$ .

Q9 (b). Si $x < 0$ : $t ⩽ x < 0$ est incompatible avec $t ⩾ 0$ , donc $I_{x} = \emptyset$ et $f_{2} (x) = 0$ . Si $x > 2 d$ : $t ⩾ x - d > d$ est incompatible avec $t ⩽ d$ , donc $f_{2} (x) = 0$ . Si $x = 2 d$ : $I_{2 d} = {d}$ , l'intégrande n'est non nul qu'au seul point $t = d$ , et l'intégrale est nulle. Ainsi $f_{2} (x) = 0 pour x \in] - \infty, 0 [\cup [2 d, + \infty [.$

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