Corrigé Ecricome 2026 Maths approfondies ECG — Exercice 2 (début) (Q1.a à Q4.g) : Diagonalisation d'une matrice triangulaire 3×3, endomorphisme φ(P) = (x² − 1)P'' + 5xP' : spectre {k(k + 4)}, polynômes propres unitaires G_k de degré k

Sujet officiel du concours Ecricome, session 2026, épreuve Maths approfondies ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$A = 000050 - 2 012$ . Soit $n ⩾ 2$ , $P_{k} = x^{k}$ , et $φ$ définie sur $R_{n} [x]$ par $φ (P) (x) = (x^{2} - 1) P^{''} (x) + 5 x P^{'} (x)$ . On note $E_{λ} (φ)$ le sous-espace propre associé à une valeur propre $λ$ ; un polynôme est unitaire si son coefficient dominant vaut $1$ .

Q1. (a) Spectre de $A$ . (b) $A$ est-elle diagonalisable ? (c) Trouver $V$ inversible et $D$ diagonale (coefficients croissants) avec $A = V D V^{- 1}$ .
Q2. (a) Calculer $φ (P_{0})$ , $φ (P_{1})$ , $φ (P_{k})$ pour $k \in [[2, n]]$ . (b) Degré et coefficient dominant de $φ (P)$ pour $P$ unitaire de degré $d ⩽ n$ .
Q3. (a) $φ$ est un endomorphisme de $R_{n} [x]$ . (b) Sa matrice dans la base canonique. (c) $R_{k} [x]$ est stable par $φ$ pour $k \in [[0, n]]$ . (d) Matrice de $Ψ : P \mapsto (x^{2} - 1) P^{''} + 5 x P^{'}$ dans la base canonique de $R_{2} [x]$ .
Q4. (a) $Sp (φ) = {k (k + 4), k \in [[0, n]]}$ . (b) Ces $n + 1$ valeurs propres sont distinctes. (c) Conséquence pour $φ$ ? (d) Pour tout $k$ , il existe un unique $G_{k}$ unitaire tel que $E_{k (k + 4)} (φ) = Vect (G_{k})$ . (e) $G_{0}$ et $G_{1}$ ? (f) Vérifier que $G_{2} = x^{2} - \frac{1}{6}$ . (g) $de g G_{k} = k$ .

Corrigé

Q1 (a). $A$ est triangulaire supérieure : ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux, $Sp (A) = {0, 5, 12} .$

Q1 (b). $A \in M_{3} (R)$ admet $3$ valeurs propres deux à deux distinctes : par le critère « $n$ valeurs propres distinctes en dimension $n$ », $A est diagonalisable$ (et chaque sous-espace propre est une droite). Être triangulaire ne suffit pas : $(0010)$ ne l'est pas.

Q1 (c). On résout $(A - λ I_{3}) X = 0$ pour $X = a b c$ .

$λ = 0$ : $- 2 c = 0$ , $5 b = 0$ , $12 c = 0$ , donc $b = c = 0$ : $E_{0} (A) = Vect ((1, 0, 0)^{T})$ .
$λ = 5$ : $- 5 a - 2 c = 0$ , $7 c = 0$ , donc $c = 0$ puis $a = 0$ : $E_{5} (A) = Vect ((0, 1, 0)^{T})$ .
$λ = 12$ : $- 12 a - 2 c = 0$ , $- 7 b = 0$ , donc $b = 0$ et $c = - 6 a$ : $E_{12} (A) = Vect ((1, 0, - 6)^{T})$ .

Contrôle : $A (1, 0, - 6)^{T} = (12, 0, - 72)^{T} = 12 (1, 0, - 6)^{T}$ . Les trois vecteurs propres, associés à des valeurs propres distinctes, forment une base de $M_{3, 1} (R)$ , et

$V = 100010 10 - 6, D = 0000500012 A = V D V^{- 1},$

$V$ étant inversible (triangulaire de déterminant $- 6 \neq = 0$ ).

Q2 (a). $P_{0} = 1$ a des dérivées nulles : $φ (P_{0}) = 0$ . $P_{1}^{'} = 1$ , $P_{1}^{''} = 0$ : $φ (P_{1}) = 5 x = 5 P_{1}$ . Pour $k ⩾ 2$ , $P_{k}^{'} = k x^{k - 1}$ et $P_{k}^{''} = k (k - 1) x^{k - 2}$ , donc

$φ (P_{k}) = (x^{2} - 1) k (k - 1) x^{k - 2} + 5 k x^{k} = (k (k - 1) + 5 k) x^{k} - k (k - 1) x^{k - 2},$

$φ (P_{0}) = 0, φ (P_{1}) = 5 P_{1}, φ (P_{k}) = k (k + 4) P_{k} - k (k - 1) P_{k - 2} (2 ⩽ k ⩽ n) .$

La formule vaut aussi pour $k = 0$ et $k = 1$ (le second terme est nul), et $φ (P_{k}) \in R_{k} [x]$ pour tout $k$ .

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