Corrigé Ecricome 2026 Maths ECT — Exercice 1 — Partie 1 (Q1 à Q4) : Deux suites couplées de somme 1, suite arithmético-géométrique aₙ₊₁ = (3/5)aₙ + 1/10, limite 3/4 de bₙ et fonction Python rang

Sujet officiel du concours Ecricome, session 2026, épreuve Maths ECT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Les suites $(a_{n})_{n ⩾ 0}$ et $(b_{n})_{n ⩾ 0}$ vérifient $a_{0} = 1$ , $b_{0} = 0$ et, pour tout $n \in N$ , $a_{n + 1} = \frac{7}{10} a_{n} + \frac{1}{10} b_{n}$ et $b_{n + 1} = \frac{3}{10} a_{n} + \frac{9}{10} b_{n}$ .

Q1. Montrer que $a_{n} + b_{n} = 1$ pour tout $n \in N$ .
Q2.a. Montrer que $a_{n + 1} = \frac{3}{5} a_{n} + \frac{1}{10}$ . Q2.b. Trouver le réel $ℓ$ tel que $ℓ = \frac{3}{5} ℓ + \frac{1}{10}$ . Q2.c. Montrer que $v_{n} = a_{n} - ℓ$ définit une suite géométrique. Q2.d. Montrer que $a_{n} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} (\frac{3}{5})^{n}$ .
Q3.a. Expression de $b_{n}$ . Q3.b. Limite de $(b_{n})$ .
Q4. Compléter (condition du while et mise à jour de b) une fonction Python rang(s) qui, pour $s \in] 0, \frac{3}{4} [$ , renvoie le plus petit entier $n$ tel que $b_{n} ⩾ s$ .

Corrigé

Q1. Montrons par récurrence sur $n \in N$ la propriété $H (n)$ : « $a_{n} + b_{n} = 1$ ».

Initialisation ( $n = 0$ ). $a_{0} + b_{0} = 1 + 0 = 1$ : $H (0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n \in N$ tel que $H (n)$ soit vraie. En additionnant les deux relations de récurrence,

$a_{n + 1} + b_{n + 1} = (\frac{7}{10} + \frac{3}{10}) a_{n} + (\frac{1}{10} + \frac{9}{10}) b_{n} = a_{n} + b_{n} = 1,$

la dernière égalité étant l'hypothèse de récurrence. $H (n + 1)$ est vraie.

Conclusion. Par le principe de récurrence, $a_{n} + b_{n} = 1$ pour tout $n \in N$ .

Ce que le correcteur attend : une hypothèse de récurrence posée pour un entier $n$ fixé (et non « pour tout $n$ », ce qui serait supposer le résultat), et une conclusion qui contient le quantificateur « pour tout $n \in N$ ».

Q2.a. Soit $n \in N$ . D'après Q1, $b_{n} = 1 - a_{n}$ . En reportant dans la première relation :

$a_{n + 1} = \frac{7}{10} a_{n} + \frac{1}{10} (1 - a_{n}) = \frac{6}{10} a_{n} + \frac{1}{10} = \frac{3}{5} a_{n} + \frac{1}{10} .$

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