Corrigé Ecricome 2026 Maths ECT — Exercice 1 — Partie 2 (Q5.a à Q8.c) : Matrice d'ordre 3 : QP = 12I, valeurs propres 10, 6, 10, M = PDP⁻¹, Mⁿ = (1/12) PDⁿQ et suites récurrentes xₙ = 1/2 + (1/2)(3/5)ⁿ

Q5.a. Le coefficient $(i,j)$ de $QP$ est le produit de la ligne $i$ de $Q$ par la colonne $j$ de $P$ :

$$QP=\left(\begin{array}{ccc}3+9+0& -3+3+0& 3+0-3\\ -9+9+0& 9+3+0& -9+0+9\\ 0+0+0& 0+0+0& 0+0+12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}12& 0& 0\\ 0& 12& 0\\ 0& 0& 12\end{array}\right)=\boxed{12I_3}.$$

Q5.b. D'après Q5.a, $\left(\frac{1}{12}Q\right)P=I_3$. Calculons aussi le produit dans l'autre sens :

$$PQ=\left(\begin{array}{ccc}3+9+0& 3-3+0& -1-3+4\\ 9-9+0& 9+3+0& -3+3+0\\ 0+0+0& 0+0+0& 0+0+12\end{array}\right)=12I_3.$$

Ainsi $\left(\frac{1}{12}Q\right)P=P\left(\frac{1}{12}Q\right)=I_3$ : la matrice $P$ est inversible, et

$$\boxed{P^{-1}=\frac{1}{12}Q=\frac{1}{12}\left(\begin{array}{ccc}3& 3& -1\\ -9& 3& 3\\ 0& 0& 4\end{array}\right).}$$

(Pour des matrices carrées, une seule des deux égalités suffit ; le second produit ne coûte qu'une ligne.)

Ce que le correcteur attend : la justification de l'inversibilité (exhiber une matrice dont le produit avec $P$ vaut $I_3$) et la matrice $P^{-1}$ ; ni $P^{-1}=Q$, ni un pivot de Gauss, inutile ici.

Q6.a. Notons $C_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 0\end{array}\right)$, $C_2=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$, $C_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ les colonnes de $P$. On calcule :

$$M{C}_1=\left(\begin{array}{c}7+3+0\\ 3+27+0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}10\\ 30\\ 0\end{array}\right)=10C_1,$$

$$M{C}_2=\left(\begin{array}{c}-7+1+0\\ -3+9+0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ 0\end{array}\right)=6C_2,$$

$$M{C}_3=\left(\begin{array}{c}7+0+3\\ 3+0-3\\ 0+0+30\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}10\\ 0\\ 30\end{array}\right)=10C_3.$$

Les colonnes $C_1$, $C_2$, $C_3$ sont non nulles : ce sont des vecteurs propres de $M$, associés respectivement aux valeurs propres $\boxed{10,6\text{ et }10}$.