Corrigé Ecricome 2026 Maths ECT — Exercice 2 — Partie 1 (Q1.a à Q5) : g(x) = 1 − x e^(1−x) : limites, asymptote y = 1, variations, minimum 0 en 1, convexité, inflexion en 2, tangente et tracé

Q1.a. Quand $x\to -\infty$ : $-x\to +\infty$ et $1-x\to +\infty$, donc ${\mathrm{e}}^{1-x}\to +\infty$ (car ${\lim }_{X\to +\infty }{\mathrm{e}}^X=+\infty$). Par produit, $-x{\mathrm{e}}^{1-x}\to +\infty$, et

$$\boxed{\underset{x\to -\infty }{\lim }g(x)=+\infty }.$$

Aucune forme indéterminée ici : les croissances comparées ne servent à rien en $-\infty$.

Q1.b. Pour tout réel $x$, $x{\mathrm{e}}^{1-x}=\mathrm{e}\times \frac{x}{{\mathrm{e}}^x}$. Par le théorème des croissances comparées, $\frac{{\mathrm{e}}^x}{x}\to +\infty$ quand $x\to +\infty$, donc $\frac{x}{{\mathrm{e}}^x}\to 0$. Ainsi $x{\mathrm{e}}^{1-x}\to 0$ et

$$\boxed{\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=1}.$$

La droite d'équation $\boxed{y=1}$ est donc asymptote horizontale à $\mathcal{C}$ au voisinage de $+\infty$.

Ce que le correcteur attend : une asymptote horizontale s'écrit « $y=1$ », et elle est asymptote « en $+\infty$ » (pas « en $1$ »).

Q2.a. On dérive le produit $uv$ avec $u(x)=x$, $u^{\prime }(x)=1$, $v(x)={\mathrm{e}}^{1-x}$, $v^{\prime }(x)=-{\mathrm{e}}^{1-x}$ (dérivée de ${\mathrm{e}}^w$, égale à $w^{\prime }{\mathrm{e}}^w$, avec $w(x)=1-x$). Pour tout réel $x$ :

$$g^{\prime }(x)=-(1\times {\mathrm{e}}^{1-x}+x\times (-{\mathrm{e}}^{1-x}))=-(1-x){\mathrm{e}}^{1-x}=\boxed{(x-1){\mathrm{e}}^{1-x}}.$$