Corrigé Ecricome 2026 Maths ECT — Exercice 2 — Partie 2 (Q6.a à Q10.c) : Densité 4e²(ln t − 1)/t³ sur [e, +∞[ : intégration par parties, fonction de répartition, espérance 4e, pas de variance, maximum de n variables

Q6.a. Sur $[\mathrm{e},+\infty [$, $\frac{1}{t^3}=t^{-3}$, et une primitive de $t\mapsto t^{-3}$ est $t\mapsto \frac{t^{-2}}{-2}$ :

$$\boxed{t⟼-\frac{1}{2t^2}}\left(\text{controˆle : }\right(-\frac{1}{2}{t}^{-2}{)}^{\prime }=-\frac{1}{2}\times (-2)t^{-3}=\frac{1}{t^3}).$$

Q6.b. Soit $x>\mathrm{e}$. On pose, sur le segment $[\mathrm{e},x]$, $u(t)=\ln (t)-1$ et $v(t)=-\frac{1}{2t^2}$, de sorte que $u^{\prime }(t)=\frac{1}{t}$ et $v^{\prime }(t)=\frac{1}{t^3}$ (Q6.a). Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables à dérivées continues sur $[\mathrm{e},x]$ ; la formule d'intégration par parties donne

$${\int }_{\mathrm{e}}^x\frac{\ln (t)-1}{t^3}\mathrm{d}t=[-\frac{\ln (t)-1}{2t^2}{]}_{\mathrm{e}}^x-{\int }_{\mathrm{e}}^x\frac{1}{t}\times (-\frac{1}{2t^2})\mathrm{d}t=-\frac{\ln (x)-1}{2x^2}+0+\frac{1}{2}{\int }_{\mathrm{e}}^x\frac{\mathrm{d}t}{t^3},$$

le terme en $\mathrm{e}$ étant nul car $\ln (\mathrm{e})-1=0$. Avec Q6.a, $\frac{1}{2}{\int }_{\mathrm{e}}^x\frac{\mathrm{d}t}{t^3}=\frac{1}{2}[-\frac{1}{2t^2}{]}_{\mathrm{e}}^x=-\frac{1}{4x^2}+\frac{1}{4{\mathrm{e}}^2}$. D'où

$${\int }_{\mathrm{e}}^x\frac{\ln (t)-1}{t^3}\mathrm{d}t=\frac{1}{2x^2}(1-\ln (x)-\frac{1}{2})+\frac{1}{4{\mathrm{e}}^2}=\boxed{\frac{1}{2x^2}(\frac{1}{2}-\ln (x))+\frac{1}{4{\mathrm{e}}^2}}.$$

Ce que le correcteur attend : des parenthèses autour de $\ln (t)-1$ dans le crochet, et le signe de la primitive de $\frac{1}{t^3}$ (elle est négative).

Q6.c. On vérifie les trois points de la définition d'une densité de probabilité.

• Positivité. Pour $t<\mathrm{e}$, $f(t)=0$. Pour $t⩾\mathrm{e}$, la croissance de $\ln$ donne $\ln (t)⩾\ln (\mathrm{e})=1$, donc $\ln (t)-1⩾0$ ; comme $t^3>0$ et $4{\mathrm{e}}^2>0$, $f(t)⩾0$. Ainsi $f⩾0$ sur $\mathbb{R}$.
• Continuité. $f$ est constante, donc continue, sur $]-\infty ,\mathrm{e}[$ ; sur $[\mathrm{e},+\infty [$ elle est continue comme produit et quotient de fonctions continues, le dénominateur $t^3$ ne s'annulant pas. $f$ est donc continue sur $\mathbb{R}$ sauf peut-être en $\mathrm{e}$ (elle l'est en fait aussi en $\mathrm{e}$, puisque $f(\mathrm{e})=0$, mais ce n'est pas nécessaire).
• Intégrale. ${\int }_{-\infty }^{\mathrm{e}}f(t)\mathrm{d}t={\int }_{-\infty }^{\mathrm{e}}0\mathrm{d}t$ converge et vaut $0$. Pour $x>\mathrm{e}$, d'après Q6.b et par linéarité,

$${\int }_{\mathrm{e}}^{x}f(t)\mathrm{d}t=4{\mathrm{e}}^2(\frac{1}{4x^2}-\frac{\ln (x)}{2x^2}+\frac{1}{4{\mathrm{e}}^2})=1+\frac{{\mathrm{e}}^2}{x^2}-2{\mathrm{e}}^2\frac{\ln (x)}{x^2}.$$