Corrigé Ecricome 2026 Maths ECT — Exercice 2 — Partie 3 (Q11.a à Q14) : hₙ = gⁿ sur [1, +∞[ : théorème de la bijection, αₙ tel que hₙ(αₙ) = 1/2, suite croissante et non majorée, limite +∞

Q11.a. D'après la partie 1, $g(1)=1-1\times {\mathrm{e}}^0=0$, donc $h_n(1)=0^n=\boxed{0}$ (car $n⩾1$). D'après Q1.b de la partie 1, $g(x)\to 1$ quand $x\to +\infty$ ; l'entier $n$ étant fixé, par produit de $n$ limites,

$$\boxed{\underset{x\to +\infty }{\lim }{h}_n(x)=1^n=1}.$$

Q11.b. Pour $n=1$, $h_1=g$, croissante sur $[1,+\infty [$ d'après Q2.b de la partie 1. Pour $n⩾2$, on dérive la puissance d'une fonction ($(u^n{)}^{\prime }=n{u}^{\prime }{u}^{n-1}$) : pour tout $x⩾1$,

$$h_n^{\prime }(x)=n{g}^{\prime }(x)(g(x){)}^{n-1}=n(x-1){\mathrm{e}}^{1-x}(g(x){)}^{n-1}.$$

Sur $[1,+\infty [$ : $n>0$, $x-1⩾0$, ${\mathrm{e}}^{1-x}>0$, et $g(x)⩾0$ (le minimum de $g$ sur $\mathbb{R}$ est $g(1)=0$, partie 1, Q2.b), donc $(g(x){)}^{n-1}⩾0$. Ainsi $h_n^{\prime }⩾0$ sur l'intervalle $[1,+\infty [$ : $h_n$ y est croissante.

Ce que le correcteur attend : la positivité de $g$ sur $[1,+\infty [$, indispensable — la fonction $t\mapsto t^n$ n'est croissante que sur $[0,+\infty [$ quand $n$ est pair ; et ne pas confondre la croissance de la fonction $h_n$ (à $n$ fixé) avec celle de la suite $(h_n(x){)}_n$.

Q11.c. Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. On applique le théorème de la bijection (corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) à $h_n$ sur l'intervalle $[1,+\infty [$ :

• $h_n$ est continue sur $[1,+\infty [$, car dérivable ;
• $h_n$ est strictement croissante sur $[1,+\infty [$ (Q11.b, version stricte admise) ;
• $h_n(1)=0$ et ${\lim }_{x\to +\infty }{h}_n(x)=1$ (Q11.a).