Corrigé Ecricome 2026 Maths ECT — Exercice 3 — Partie 1 (Q1.a à Q4.b) : Tirages avec remise de foulards : lois binomiales de R et de S = R + C, covariance −3n/20, corrélation −√(3/7), simulation en Python

Sujet officiel du concours Ecricome, session 2026, épreuve Maths ECT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Une boîte contient dix foulards : trois à roses, cinq à carreaux, deux à instruments de musique. On effectue $n$ tirages avec remise ( $n \in N^{*}$ ), indépendants. $R$ , $C$ et $M$ sont les nombres de foulards à roses, à carreaux et à instruments obtenus ; on admet $C ↪ B (n, \frac{1}{2})$ et $M ↪ B (n, \frac{1}{5})$ .

Q1.a. Loi de $R$ : $R (Ω)$ et $P (R = k)$ . Q1.b. $E (R)$ et $V (R)$ .
Q2. $S = R + C$ . Q2.a. Calculer $P (S = 0)$ et $P (S = 1)$ . Q2.b. Justifier que $S$ suit une loi binomiale ; paramètres ? Q2.c. $E (S)$ , et vérifier que $V (S) = \frac{4}{25} n$ .
Q3.a. Covariance de $R$ et $C$ . Q3.b. $R$ et $C$ sont-elles indépendantes ? Q3.c. Montrer que $ρ (R, C) = - \frac{3}{7}$ .
Q4. Le sujet donne une fonction Python Foulards(n) (bibliothèques numpy sous np, numpy.random sous rd) : pour chacun des $n$ tours, elle tire p = rd.random(), puis incrémente R si p<3/10, sinon C si p<8/10, sinon M ; elle renvoie [R,C,M]. Q4.a. Que renvoie-t-elle ? Q4.b. Écrire un script donnant une valeur approchée de $E (R C) - E (R) E (C)$ .

Corrigé

Q1.a. Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli dont le succès est « obtenir un foulard à roses », de probabilité $\frac{3}{10}$ (trois foulards sur dix, indiscernables au toucher). Les tirages se font avec remise, donc dans les mêmes conditions, et ils sont indépendants. La variable $R$ compte le nombre de succès en $n$ épreuves : c'est un schéma de Bernoulli, et

$R ↪ B (n, \frac{3}{10}), R (Ω) = [[0, n]],$

$\forall k \in [[0, n]], P (R = k) = (k n) (\frac{3}{10})^{k} (\frac{7}{10})^{n - k} .$

Ce que le correcteur attend : le support noté $[[0, n]]$ (et non l'intervalle réel $[0, n]$ ), les parenthèses autour de $\frac{3}{10}$ dans la puissance, et la justification (épreuves identiques, indépendantes, nombre de succès).

Q1.b. D'après le cours sur la loi binomiale ( $E = n p$ , $V = n p (1 - p)$ ) :

$E (R) = \frac{3 n}{10}, V (R) = n \times \frac{3}{10} \times \frac{7}{10} = \frac{21 n}{100} .$

Q2.a. Chaque tirage donne exactement un foulard à roses, à carreaux ou à instruments, donc $R + C + M = n$ et $S = n - M$ . Ainsi $[S = 0] = [M = n]$ et $[S = 1] = [M = n - 1]$ , et avec $M ↪ B (n, \frac{1}{5})$ :

$P (S = 0) = P (M = n) = (\frac{1}{5})^{n} = \frac{1}{5 ^{n}},$

$P (S = 1) = P (M = n - 1) = (n - 1 n) (\frac{1}{5})^{n - 1} \frac{4}{5} = \frac{4 n}{5 ^{n}} .$

(En clair : $[S = 0]$ signifie que les $n$ tirages ont tous donné un foulard à instruments.)

Ce que le correcteur attend : un résultat qui dépend de $n$ , obtenu par le lien avec $M$ ; $R$ et $C$ ne sont pas indépendantes (Q3.b), on ne peut donc pas multiplier $P (R = 0)$ par $P (C = 0)$ .

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