Corrigé Ecricome 2026 Maths ECT — Exercice 3 — Partie 2 (Q5.a à Q9.b) : Tirer jusqu'à obtenir roses et non-roses : loi géométrique G(7/10), loi de N, somme de k q^(k−1), E(N) = 79/21, non-indépendance de T et N

Sujet officiel du concours Ecricome, session 2026, épreuve Maths ECT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Même boîte (trois foulards à roses sur dix). On tire avec remise jusqu'à avoir obtenu au moins un foulard à roses et au moins un foulard sans roses. $T$ est le nombre de tirages nécessaires pour obtenir un foulard sans roses ; $R_{k}$ est l'événement « foulard à roses au $k$ -ième tirage » ; $N$ est le nombre total de tirages effectués.

Q5.a. Reconnaître la loi de $T$ . Q5.b. $E (T)$ et $V (T)$ .
Q6.a. $N (Ω)$ . Q6.b. Écrire $[N = 2]$ à l'aide de $R_{1}$ , $R_{1}$ , $R_{2}$ , $R_{2}$ . Q6.c. Calculer $P (N = 2)$ . Q6.d. Écrire $[N = 3]$ et montrer que $P (N = 3) = \frac{21}{100}$ . On admet que $P (N = k) = \frac{7}{10} (\frac{3}{10})^{k - 1} + \frac{3}{10} (\frac{7}{10})^{k - 1}$ pour tout entier $k ⩾ 2$ . Q6.e. Vérifier que $\sum_{k = 2}^{+ \infty} P (N = k) = 1$ .
Q7. Soit $q \in] - 1, 1 [$ non nul et $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k q^{k - 1}$ ( $n \in N^{*}$ ). Q7.a. Montrer que $(1 - q)^{2} S_{n} = 1 - (n + 1) q^{n} + n q^{n + 1}$ . Q7.b. Sachant que $n x^{n} \to 0$ pour $x \in] - 1, 1 [$ , montrer que $\sum_{k ⩾ 1} k q^{k - 1}$ converge et donner sa somme.
Q8. Montrer que $N$ admet une espérance et que $E (N) = \frac{79}{21}$ .
Q9.a. Calculer $P ([T = 1] \cap [N = 2])$ . Q9.b. $T$ et $N$ sont-elles indépendantes ?

Corrigé

Préliminaire.

Les tirages se font avec remise : à chaque tirage, la probabilité d'un foulard à roses est $\frac{3}{10}$ et celle d'un foulard sans roses (carreaux ou instruments) est $\frac{5 + 2}{10} = \frac{7}{10}$ , et les événements $R_{1}, R_{2}, \dots$ (ou leurs contraires) sont mutuellement indépendants.

Q5.a. On répète une même épreuve (un tirage), de façon indépendante et dans les mêmes conditions (avec remise) ; on appelle succès l'événement « obtenir un foulard sans roses », de probabilité $p = \frac{7}{10} \in] 0, 1 [$ . La variable $T$ est le rang du premier succès. L'expérience ne s'arrête pas avant ce premier succès, puisqu'elle exige au moins un foulard sans roses : $T$ est bien observé. On reconnaît la loi géométrique :

$T ↪ G (\frac{7}{10}), T (Ω) = N^{*}, P (T = k) = (\frac{3}{10})^{k - 1} \frac{7}{10} (k ⩾ 1) .$

Ce que le correcteur attend : les trois ingrédients de la reconnaissance (épreuves identiques, indépendantes, rang du premier succès) et le paramètre, qui est la probabilité du succès, ici $\frac{7}{10}$ et non $\frac{3}{10}$ .

Q5.b. Par le cours ( $E = \frac{1}{p}$ , $V = \frac{1 - p}{p ^{2}}$ ) :

$E (T) = \frac{10}{7}, V (T) = \frac{3/10}{( 7/10 ) ^{2}} = \frac{3}{10} \times \frac{100}{49} = \frac{30}{49} .$

Q6.a. Il faut au moins un foulard à roses et au moins un foulard sans roses : au moins deux tirages, donc $N ⩾ 2$ . Tout entier $k ⩾ 2$ est possible (par exemple $k - 1$ foulards à roses puis un foulard sans roses). Ainsi

$N (Ω) = [[2, + \infty [[.$

(L'expérience pourrait en théorie ne jamais s'arrêter, si tous les tirages donnaient la même sorte de foulard ; Q6.e montre que ce cas est de probabilité nulle.)

Q6.b. L'expérience s'arrête au deuxième tirage exactement lorsque les deux premiers foulards sont de sortes différentes :

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