Corrigé EDHEC 2025 Maths appliquées ECG — Exercice 1 (Q1.a à Q4.d) : Suite implicite fn(un) = 1 avec fn(x) = x + 2x² + … + nxⁿ : théorème de la bijection, décroissance, somme dérivée de la somme géométrique, limite (3 − √5)/2

Sujet officiel du concours EDHEC, session 2025, épreuve Maths appliquées ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour $n \in N^{*}$ et $x \in [0, 1]$ , on pose $f_{n} (x) = \sum_{k = 1}^{n} k x^{k} = x + 2 x^{2} + \dots + n x^{n}$ .

Q1. (a) Montrer que $f_{n}$ est strictement croissante sur $[0, 1]$ . (b) En déduire que l'équation $f_{n} (x) = 1$ a une unique solution $u_{n}$ dans $[0, 1]$ . (c) Donner $u_{1}$ .
Q2. (a) Exprimer $f_{n + 1} (x)$ à l'aide de $f_{n} (x)$ . (b) En déduire $f_{n + 1} (u_{n}) ⩾ 1$ . (c) Conclure, par les variations de $f_{n + 1}$ , que $(u_{n})_{n \in N^{*}}$ est décroissante. (d) Montrer que $(u_{n})$ converge ; on note $ℓ$ sa limite.
Q3. (a) Rappeler $\sum_{k = 0}^{n} x^{k}$ pour $x \neq = 1$ . (b) En déduire, pour $x \neq = 1$ , $\sum_{k = 1}^{n} k x^{k - 1} = \frac{n x ^{n + 1} - ( n + 1 ) x ^{n} + 1}{( 1 - x ) ^{2}}$ . (c) En déduire une expression de $f_{n} (x)$ sans symbole $Σ$ pour $x \in [0, 1 [$ .
Q4. (a) Déterminer $u_{2}$ , puis montrer que $0 ⩽ u_{n} ⩽ \frac{1}{2}$ pour $n ⩾ 2$ . (b) En déduire les limites de $u_{n}^{n}$ et de $n u_{n}^{n}$ . (c) Montrer, pour $n ⩾ 2$ , que $u_{n}^{2} - 3 u_{n} + 1 = n u_{n}^{n + 2} - (n + 1) u_{n}^{n + 1}$ . (d) Donner la valeur de $ℓ$ .

Corrigé

Q1. (a) $f_{n}$ est une fonction polynôme, donc dérivable sur $[0, 1]$ , et pour $x \in [0, 1]$ :

$f_{n}^{'} (x) = k = 1 \sum n k^{2} x^{k - 1} = 1 + k = 2 \sum n k^{2} x^{k - 1} ⩾ 1 > 0,$

puisque chaque terme $k^{2} x^{k - 1}$ ( $k ⩾ 2$ ) est positif pour $x ⩾ 0$ (la somme est vide si $n = 1$ ). Une fonction dérivable, de dérivée strictement positive sur un intervalle, y est strictement croissante : $f_{n} est strictement croissante sur [0, 1]$ .

(b) $f_{n}$ est continue (polynôme) et strictement croissante sur l'intervalle $[0, 1]$ . Par le théorème de la bijection, $f_{n}$ réalise une bijection de $[0, 1]$ sur l'intervalle $[f_{n} (0), f_{n} (1)]$ . Or $f_{n} (0) = 0$ et

$f_{n} (1) = k = 1 \sum n k = \frac{n ( n + 1 )}{2} ⩾ 1 (n ⩾ 1) .$

Donc $1 \in [f_{n} (0), f_{n} (1)]$ et le réel $1$ possède un unique antécédent par $f_{n}$ dans $[0, 1]$ : l'équation $f_{n} (x) = 1$ a une seule solution $u_{n} \in [0, 1]$ .

Ce que le correcteur attend : les deux hypothèses (continuité ET stricte monotonie sur un intervalle) et la vérification que $1$ est bien entre $f_{n} (0)$ et $f_{n} (1)$ .

Q2. (a) En isolant le dernier terme de la somme définissant $f_{n + 1}$ : pour tout $x \in [0, 1]$ ,

$f_{n + 1} (x) = f_{n} (x) + (n + 1) x^{n + 1} .$

(b) Avec $x = u_{n}$ et $f_{n} (u_{n}) = 1$ : $f_{n + 1} (u_{n}) = 1 + (n + 1) u_{n}^{n + 1} ⩾ 1$ , car $u_{n} ⩾ 0$ .

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