Corrigé EDHEC 2025 Maths appliquées ECG — Exercice 2 (Q1.a à Q7.c) : Un plan E de matrices symétriques 3 × 3 : base et dimension, valeurs propres 0, 5, −4 d'un exemple, base propre commune et puissances par diagonalisation en Python

Sujet officiel du concours EDHEC, session 2025, épreuve Maths appliquées ECG. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour $(a, b) \in R^{2}$ , on pose $M (a, b) = a b a b 2 a - b b a b a$ et $E = {M (a, b), (a, b) \in R^{2}}$ . On note $I$ l'identité de $M_{3} (R)$ et $A = M (1, 3)$ . Les bibliothèques numpy, numpy.random, numpy.linalg sont importées sous les noms np, rd, al.

Q1. (a) Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $M_{3} (R)$ . (b) En donner une base et la dimension.
Q2. Justifier sans calcul que les matrices de $E$ sont diagonalisables mais pas inversibles.
Q3. Vérifier que $A \in E$ .
Q4. Écrire une fonction Python matA() renvoyant $A$ .
Q5. (a) Quelle valeur propre de $A$ la question 2 fournit-elle ? (b) Montrer que $A - 5 I$ et $A + 4 I$ ne sont pas inversibles ; en déduire deux autres valeurs propres. (c) Donner une base de chaque sous-espace propre, puis une base $(U, V, W)$ de $M_{3, 1} (R)$ de vecteurs propres de $A$ , de première composante $1$ .
Q6. Donner les valeurs affichées pour r1 et r2, rangs calculés par al.matrix_rank de $A - 5 I$ et $A + 4 I$ .
Q7. (a) Vérifier que $U$ , $V$ , $W$ sont vecteurs propres de toutes les matrices de $E$ . (b) Avec $P = (U V W)$ , indiquer comment obtenir $M (a, b)^{n}$ ( $n \in N^{*}$ ). (c) En déduire, sans al.matrix_power, une fonction puissanceM(a,b,n) renvoyant $M (a, b)^{n}$ .

Corrigé

Q1. (a) Posons

$B = M (1, 0) = 101020101, C = M (0, 1) = 010 1 - 1 1 010 .$

Pour tous réels $a, b$ , en comparant coefficient par coefficient, $M (a, b) = a B + b C$ (le coefficient central est bien $2 a - b = a \cdot 2 + b \cdot (- 1)$ ). Réciproquement toute combinaison linéaire $a B + b C$ est égale à $M (a, b)$ . Donc

$E = {a B + b C, (a, b) \in R^{2}} = Vect (B, C),$

et un sous-espace engendré par une famille de vecteurs de $M_{3} (R)$ est un sous-espace vectoriel de $M_{3} (R)$ .

(b) La famille $(B, C)$ engendre $E$ d'après (a). Elle est libre : si $a B + b C = 0$ , alors $M (a, b) = 0$ , dont le coefficient $(1, 1)$ donne $a = 0$ et le coefficient $(1, 2)$ donne $b = 0$ . Donc $(B, C)$ est une base de $E$ et $dim E = 2$ .

Ce que le correcteur attend : écrire $E = Vect (B, C)$ (un ensemble), et non « $M (a, b) = Vect (\dots)$ » (une matrice n'est pas un sous-espace) ; une base est une famille libre ET génératrice.

Q2. Diagonalisables. Toute matrice $M (a, b)$ est symétrique : ses coefficients $(1, 2)$ et $(2, 1)$ valent $b$ , $(1, 3)$ et $(3, 1)$ valent $a$ , $(2, 3)$ et $(3, 2)$ valent $b$ . Or toute matrice symétrique réelle est diagonalisable (résultat admis du programme).

Non inversibles. La première et la troisième colonne de $M (a, b)$ sont égales : $C_{1} - C_{3} = 0$ est une relation de dépendance linéaire non triviale entre les colonnes, donc $rg M (a, b) ⩽ 2 < 3$ et $M (a, b)$ n'est pas inversible.

Q3. Avec $a = 1$ et $b = 3$ : $2 a - b = - 1$ , et $M (1, 3) = 131 3 - 1 3 131 = A$ . Donc $A \in E$ .

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